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考前冲刺十五天（14）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．43解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA，AB=OC，∵tan∠COD=，∴设OC=3x，CD=4x，∴OD=5x=5，∴x=1，∴OC=3，CD=4，∴D（4，3），设过点D的反比例函数的解析式为：y=，∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y=；43kxkx（2）∵点D是BC的中点，∴B（8，3），∴BC=8，AB=3，∵E点在过点D的反比例函数图象上，∴E（8，），∴S△DBE=BD•BE==3；321213422创（3）存在，∵△OPD为直角三角形，∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，∴OP=4，∴P（4，0），当∠ODP=90°时，如图，过D作DH⊥x轴于H，∴OD2=OH•OP，∴OP==．∴P（，0），∴存在点P使△OPD为直角三角形，∴P（4，0），（，0）．2ODOH2542542542．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E．（1）求证：BD=CD；（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下判断△ABC的形状，并说明理由．（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=CD；（2）解：设⊙O的半径是R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，如图所示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，即R2﹣R﹣12=0，∵R为半径，∴R1=4，R2=﹣3（舍去），即⊙O的半径是4．ODFOAEFA=4642RRR+=+（3）△ABC是等边三角形；理由：∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵FO=4+4=8，OD=4，∴∠F=30°，∴∠FOD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵AC=AB，∴△ABC是等边三角形．3．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；12OPCPPADA==12（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，又∠QFM=∠BFN，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．12∴QF=QB，∴EF=EQ＋QF=PQ＋QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．1212121212224845+=55