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考前冲刺十五天（10）1．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．kx25解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，kyx1k由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，1115(+)(14)3222AOBANMBSSANBMMN△四边形25PACAOBSS△△215352PACS△过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．1212122．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，点D在AB上由点A开始向点B运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．（1）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线；（2）求证：CE=CF；（3）如果点F恰好落在弧BC上，请在备用图中画出图形，探究并证明此时EF与AB的关系．（1）证明：连接OC，如图2所示：∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OCA=60°，∵CD⊥AB，∴∠OCD=∠DCA=30°，∵点E与点D关于AC对称，∴CD=CE，∴∠ECA=∠DCA=30°，∴∠ECO=60°+30°=90°，∴EF为⊙O的切线；（2）证明：∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD，∴∠ECA=∠DCA，又∵DF⊥DE，∴∠CDF=90°﹣∠CDE=90°﹣∠E=∠F，∴CD=CF，∴CE=CF；（3）解：如图3所示：EF=AB，EF∥AB；理由如下：当点F恰好落在上时，此时点D与点O重合，由（2）得CE=OC，CF=OC，∴EF=2OC=AB，△OCF是等边三角形，∴∠F=∠COF=60°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠B=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BOF=60°，∴∠F=∠BOF，∴EF∥AB．BC3．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形PQMN，使点Q落在线段AE上，点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC．由折叠可得：EC=BC，AE=AB，∴AD=EC，AE=DC．又DE=DE，∴△DEC≌△EDA．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCA=∠BAC．由折叠可得∠EAC=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，∴AF=CF．设DF=x，则AF=CF=DC﹣DF=AB﹣DF=4﹣x．在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴32+x2=（4﹣x）2，解得：x=．∴DF的值为．7878（3）解：过点E作EH⊥AC于点H，交QP于点G，设EP=x，如图2，则有EG⊥PQ．在Rt△AEC中，∵AE=AB=4，EC=BC=AD=3，∴AC=5．