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第一章特殊平行四边形单元测试一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是()A．6B．5C．4D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝()A．20°B．40°C．80°D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为()A．4B．3C．2D．15ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明()A．AB＝AD且AC⊥BDB．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是()A．10B．8C．6D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是()A．12＋122B．2＋62C．12＋2D．24＋628．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为()A．16aB．12aC．8aD．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是()A．8B．42C．82D．1610．下列命题中，错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝()A．40°B．35°C．20°D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()A．75°B．60°C．55°D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝()A.2B．2C.6D．2215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE二、填空题16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．第1题图第2题图第3题图第4题图第7题图第8题图第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题21．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？22．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．第18题图第19题图参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A10.C11.B12.C13.B14.A15.B16.217.6018.①④19.AC＝BD或AB⊥BC20.22.521.∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm，且AC＝BD＝13cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周长是34cm.22.证明：∵∠BAD＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO.∴2AO＝2BO，即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．223.设正方形的边长为x，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝2x.∴S菱形AEFC＝AE·CB＝2x·x＝2x2.∴2x2＝92.∴x2＝9.∴x＝±3.舍去x＝－3.∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4，又∵O为BD的中点，∴OB＝2.又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，∴∠BOE＝30°.∴BE＝12OB＝1.25.(1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等．(2)选择∠AFB＝∠AED，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD.在Rt△BAF和Rt△ADE中，BA＝AD，AF＝DE，∴Rt△BAF≌Rt△ADE(HL)．∴∠AFB＝∠AED.26.∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°.∴∠AOC＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠BOD＝90°.∴∠AOC＝∠BOD.∵在△COA和△DOB中，∠OCA＝∠ODB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴△COA≌△DOB.∴OA＝OB.∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝2OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD＝OF＝OC.∴CA＝DA.∴OA＝12CF＝1.∴AB＝2.∴AB的最小值为2.27.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.在△ABM和△DCM中，AB＝CD，∠A＝∠D，AM＝DM，∴△ABM≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF是菱形．证明：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE＝MF.∴四边形MENF是平行四边形．由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF.∴四边形MENF是菱形．（3）当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD＝2AM.∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.∵∠A＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝45°.同理：∠DMC＝45°.∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.∵四边形MENF是菱形，∴四边形MENF是正方形．故答案为2∶1.