向量中一些常用的结论

当前第页共2页1向量中一些常用的结论1.向量加减法中的无中生有法则,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.三角形不等式:||→a|-|→b|||→a→b||→a|+|→b|，特别地，(1)当→a、→b同向或有→0|→a+→b|=|→a|+|→b|||→a|-|→b||=|→a-→b|；(2)当→a、→b反向或有→0|→a-→b|=|→a|+|→b|||→a|-|→b||=|→a+→b|；(3)当→a、→b不共线||→a|-|→b|||→a→b||→a|+|→b|(这些和实数比较类似).3.三点共线的处理方式4.无名性质定理的应用5.一些向量表达式的几何背景(1)给出→OA+→OB与AB相交,则→OA+→OB过AB的中点;(2)给出→PM+→PN=→0,则已知P是MN的中点;(3)给出→AP+→AQ=(→BP+→BQ),则已知A,B与PQ的中点三点共线;(4)在平行四边形ABCD中，给出(→AB+→AD)·(→AB-→AD)=0，则已知ABCD是菱形;(5)在平行四边形ABCD中，给出|→AB+→AD|=|→AB-→AD|，则已知ABCD是矩形;(6)在ABC中，给出→AD=12(→AB+→AC),则已知AD是ABC中BC边的中线;(7)四边形ABCD，→AD=→BCABCD为平行四边形；(8)G为ABC的重心→PG=13(→PA+→PB+→PC)→GA+→GB+→GC=→0;在ABC中，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心的坐标为G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)(9)→HA·→HB=→HB·→HC=→HC·→HAH为ABC的垂心→HA2+→BC2=→HB2+→AC2=→HC2+→AB2;当前第页共2页2(10)O为ABC的外心→OA2=→OB2=→OC2.(11)在ABC中，给出a→OA+b→OB+c→OC=→0则已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；(证明:a→OA+b→OB+c→OC=→0c→OC=-a→OA-b→OB=-a(→OC+→CA)-b(→OC+→CB)(a+b+c)→OC=-a→CA-b→CB=-ab(→CA|→CA|+→CB|→CB|),即→OC与角C的平分线所在向量共线.同理可证O在角A、角B的角平分线上.证毕.)(12)已知O是平面上一定点,在ABC中，动点P满足以下条件这一(其中(0,+∞):①→OP=→OA+(→AB|→AB|+→AC|→AB|),则点P的轨迹一定通过ABC的_____心;重②→OP=→OA+(→AB|→AB|+→AC|→AC|),则点P的轨迹一定通过ABC的_____心;内③→OP=→OA+(→AB|→AB|sinB+→AC|→AC|sinC),则点P的轨迹一定通过ABC的_____心;重④→OP=→OA+(→AB|→AB|cosB+→AC|→AC|cosC),则点P的轨迹一定通过ABC的_____心;垂⑤→PA+→PB=(→CA|→CA|cosA+→CB|→CB|cosB),则点P的轨迹一定通过ABC的_____心;外(13)若O是ABC所在平面内一点，且满足|→OB-→OC|=|→OB+→OC-2→OA|，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；(14)设平面上有互异四点A、B、C、D,已知(→DB+→DC-2→DA)·(→AB-→AC)=0,则ABC的形状为____（答：等腰三角形）