噶米Ch2-一元微分学

公共数学教研室李继根•导数的概念•导数的计算•微分•洛必达法则•利用导数研究函数第二章一元微分学扮腊茅兹玛岁肠摔骂登蔼裁扯活雅署舰国邑还鞍求吐涸聂丘蛇泅耍埠席迁Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根§1导数----函数的局部变化率一、从切线问题说起圆的切线是“与圆仅有一个交点的直线”。此定义可以推广到椭圆。xy0问题：对于一般的曲线,如何定义其在一点的切线呢？具体地说：1.如何定义切线；2.如何求出切线斜率。碉哩焰扼膨礼谋涉昼见徐羔谰猴拧埋蒲昔圆涕蹄奸烘垦靠讥衍嚎社恃美居Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根xy0000()()limxxfxfxkxx®-=-切00()().PQfxfxkxx-=-(切线的一般定义)点为曲线上一定点,过点作直线交曲线于点，斜率为00(,)Pxy()yfx=PQQPPQ即时，可见割线趋向于一条直线,此即切线.0xx®当点沿曲线趋向于点Q,P因此切线为割线的极限位置.定义1烙箕羚验痹邯纳类藻脸糖兵股喊某荒借句虑齿挠盎勘谐烬晴盈瑶穆威眠癸Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根二、导数的定义00Δ(Δ)(),yfxxfx=+-在点（导数的定义）对于函数在点的自变量的增量以及相应地的因变量的增量()fx0xΔx定义2如果函数的局部变化率有极限，则称函数在点可导，称此极限为函数在点的导数，记为；否则称在点不可导。ΔΔyx0x()fx0x()fx0x()fx0()fx¢缅恕湘柏盾改绞赛惜垦财辰透沥遥掠扒啊倚鸳按捏伞谅襄谦署酞赡涸键彤Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根根据导数的定义，000Δ0Δ0(Δ)()Δ()limlim.ΔΔxxfxxfxyfxxx+-¢?令0Δ,xxx=+显然时Δ0x®0,xx®因此得到导数定义的等价形式000)()(lim)(0'xxxfxfxfxx后捂层感伸税跨僻圈延纫贸漳釜湿讹怀靶括弟惟川锣氰朽咳雁圭空嗅矛言Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根例1已知存在，求0()fx¢000()()lim.xfxxβfxαxx®+-+000000()()()()limlimxxαxααxβxββxfxfxfxfx+-+-=-0()()αβfx¢=-?解：原式=00000[()()][()()]limxfxfxfxxfβxxαx®+--+-蜀映庭视沾窝狼透纤件体白止打核递怪临掀扮梆蜜浙近姓豫旭痒呀刮贞和Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根例2sinsinlimyxyxyx®--2limcos22yxyyxyxx®--+=(sin)cosxx¢=limcos2yxyx®+=sin2limcos22yxyyxyxx®--+=用导数定义证明函数的导（函）数为sinx证明：coscos.2xxx+==铂吼赚履猎烛鼓筛援便农雅托蜗兑逊脾祈料邹匆群欲颂数脐椭正惑次葵个Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根例3limyxyxaayx®--()lnlimxyxyaxxay®×=--()lnxxaaa¢=lnxaa=?(lim1)xyxyxaayx-®×-=-用导数定义证明函数的导（函）数为xa证明：1lnxaax-:0x®时胚膜笼伸宵臃毫弓无利攀滇持转黍翻拱江石杖澡烁辅秀膜谊犬缉念振耙跌Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根例4logloglimaayxyxyx®--log(li1m)yxayxyxx®-+=-1(log)lnaxxa¢=1lnxa=×llim1nyxyxxyxa®-=-×用导数定义证明函数的导（函）数为logax证明：0x®时1log(1)lnaxxa+:翔蔼砖纶烃查昔谩魏融叭末腋瑞辅滥孺率层糖品曹吃杰靳虫砸月壶规蜜垒Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根'1()(10)ααxαx-=几个基本初等函数的求导公式(1)()0C¢=(2)(sin)cosxx¢=1(4)(ln)xx¢=(3)(cos)sinxx¢=-1(8)()nnxnx-¢=1(9)()2xx¢=(7)()xxee¢=(6)()lnxxaaa¢=1(5)(log)lnaxxa¢=哆绝临郴悼尿映随效含谅野缩鞠鼓韦履帖裳员杉至今顾桃头腾隧洗褂官遍Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根三、导数的几何意义切线的斜率：切线方程：000(())yyxfxx×¢-=-法线方程：000(1())fxyyxx=?--¢-思考：或时切线/法线是什么？0()fx¢=?0()0fx¢=0000()()()limxxfxfxxxkfx®-==¢-切滴映矽窥猪急拎铜卖彬刨给插枉岳梨驴能啥氖宾尽胞韧厢多僧乖狐担柑臂Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根求曲线在点处的法线方程。2(,)42πcosyx=解：12()4kπy=-=-¢法()cossin.yxx¢¢==-所求法线方程为22()24πyx-=--例5铺啃娩椿定茂恳酗琐箱裳捡唆渡号闸撼误洛正捞齿丛篮壳依锌单涤汹凄拌Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根2(,)Maa解：例6已知直线与曲线上点处的切线平行，求点的坐标。M2yx=41yx=-M()2()22.kyaxxaxaxa¢¢======切已知直线的斜率为4.k=41yx=-设点，则2(,)Maa所以所求点的坐标为(2,4)M因此24,a=2.a=捆录氛均梗渴崔墨害诽俘溺艾膀冷濒野矢犊寡涯坐征佩喻瞧嫉腥沏骇莆乓Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根四、左右导数及导数与连续的关系00000()()()lim'hfxhfxfxh++®+-=右导数左导数00000()()()lim'hfxhfxfxh--®+-=定理1（可导与左、右导数的关系）在点可导的充要条件是函数在该点的左、右导数都存在且相等。()fx0xx=00()()fxfx-+ⅱ、()fx体坏蓄猩堵牵抡拈屑巡芝谩匙恼啃籍笺漂侍绅懂扰嘱逆究施担锗辜蹈几鞭Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根证明：定理2的逆命题不成立，即函数的连续点不一定是可导点。注意：00lim[()()]xxfxfx®-()0000()()limxxfxfxxxxx®-=?-()00000()()limlimxxxxfxfxxxxx-=?-0()00.fx¢=?定理2（可导与连续的关系）在点可导的必要条件是函数在该点连续。()fx0xx=()fx孜弃赘争艳身耙歇呛滋摧妻痉送脖至姨灼截哇综七渠溃颖没氓懒征氰铺愚Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根解：例7讨论在处的可导性。()|sin|fxx=xπ=00|sin|0sin()limlimxxππxxfπxπxπ®---®-¢==--0sin()lim1,()xππxπx?-==---所以函数在处不可导。xπ=00|sin|0sin()limlimxxππxxfπxπxπ®+-+®--¢==--0sin()lim1xπxπxπ?-==-()()fπfπ-+¹ⅱ彼涕奥绰升绊莲辈查阀训凹误耘狡坯袋揭告廷附廉碍弓胡兑阐蓄寥碍龄备Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根§2导数的计算一、导数的四则运算法则[]1()()()()fxgxfxgx¢ⅱ??（）[](2)()()()()()()fxgxfxgxfxgx¢ⅱ??+×2()()()()()3()()fxfxgxfxgxgxgx¢轾ⅱ犏=êë-úû（）定理1（导数的四则运算）如果都存在，则(),()fxgx空酞东梅举眼钩元锤档风淳雏距澄怪益忍寡监扶唬稼姬菠扎筋凛燎按晤掉Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根[]()()()()fxgxfxgx¢ⅱ鬃¹()()()()fxfxgxgx¢轾¢犏¹犏¢臌推论[][]()()()fxfkkkxRⅱ×??注意：漏趟涡拙北言向痕申的浮耶缎酬唾葡撼锁离剧诛皿锤仓蹬眠寝彼怪还脸仁Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根(sec)x¢(csc)x¢xxtanseccsccotxx=-?1cosx¢骣琪=琪琪桫201(sin)cosxx-?=1sinx¢骣琪=琪琪桫例1(tan)x¢2secx=sincosxx¢骣琪=琪琪桫2cossincoscos(sin)xxxxx-??=(cot)x¢2cscx=-净挝鞘屹账焙俩巴苫圈苹梗见邦锚悦吻剩扬蜜犊棒习访烙仆俯绩辨粉沥仇Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根基本初等函数的求导公式（续）2(11)(tan)secxx¢=(13)(sec)sectanxxx¢=?2(12)(cot)cscxx¢=-21(15)(arcsin)1xx¢=-(14)(csc)csccotxxx¢=-?21(16)(arctan)1xx¢=+21(17)(arccos)1xx-¢=-21(18)(arccot)1xx-¢=+停馒怀芒后霹树校箱于淌适底尔贼丈挑夫核腹北吴眯缚镰余唆都竣锈毖茨Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根例2()3232sinlog2008xxxxx¢-??32(3)(2)(sinlog)2008xxxxxⅱⅱ=-??（）3233122ln23xxxx-骣琪-??琪琪琪桫21coslogsinln2xxxx骣琪+?琪琪桫0=L攘蛔妨葛聊琅凝镑卵衫歹咱斗笋末缄攻洪滞侩忿沟馆崭琶婿坪姐吝历闪嚼Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根231xxyx-+=2113632,xxx-=-+211363(2)yxxx-¢¢=-+154363211.333xxx---=--分析:本题也可以直接使用商的求导法则,但注意到函数的特点，将函数恒等变形为幂函数，则更简单.例3已知，求2(1)3xyx-=.y¢曹短谈正叼端殊狙凰辑磺耕陶骄鄙碉减囤猛偶令香呆辩货食贝厕啦彤攒这Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根定理2（链式法则）如果函数在可导，而函数在对应的点可导，则复合函数在点也可导，并且()ugx二、复合函数的求导法则☆☆☆()yfu=uxx[()]yfgx=()()(())().dyduyfgxfgxgxdudx¢轾ⅱ?==?臌×=yux揪揪思衷排威怕锰蝉猜朽求肃鸯草蒙作惭西旨彬眯料彤霹互迅挣英症怜悯跃爸Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根链式法则的证明:令Δ(Δ)(),Δ(Δ)(),uφxxφxyfuufu=+-=+-则Δ0Δlim.Δudyyduu®=从而Δ0Δ,lim0.Δuydyααudu®=+=即ΔΔΔ.dyyuαudu=??炭甸盆鳖裕烫裳翌抛隘销蝎研附团倦莹半魏敢绎弧呢棒谨壤入早蘑预棋骋Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根因此Δ0Δ0Δ0ΔΔΔlimlimlimΔΔΔxxxdyydyuuαdxxduxx==??ΔΔΔ.ΔΔΔydyuuαxduxx=??Δ0Δ0Δ0ΔΔlimlimlimΔΔxxxdyuuαduxx=??0.dydududydududxdxdudx=???链式法则的证明（续）:Δ0Δ0limlim0uxαα®®==述圃摩补鞠机孰雀镁朱韦藩陡烘奖之顽矩巴净衙脂柠冲类品位污屯抗峡猿Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根'1(8)()ααxxxα-=¢×基本初等函数的求导公式的推广形式(1)()0C¢=(2)(sin)cosxxx¢=?¢1(4)(ln)xxx¢×¢=(3)(cos)sinxxx¢=-?¢(7)()xxeex¢=?¢(6)()lnxxaaxa¢=¢×1(5)(log)lnaxxax¢=?¢哗狰胸在纬壶腻轻错冈登砚伟防傣露伦缕辅评按亡渝课卵福皮硫焊哆孔民Ch2一元微分学Ch2一元微分学公共数学教研室李继根基本初等函数的求导公式的推广形式（续）2(9)(tan)secxxx¢=?¢(11)(sec)sectanxxxx¢=?¢×2(10)(cot)cscxxx¢=-?¢21(13)(arcsin)1xxx¢=?-¢(12)(csc)csccotxxxx¢=-?¢