二次型时频分析

二次型时频分析目录CONTENTS02Wigner-Ville分布时频分布一般理论0103模糊函数04Cohen类时频分布05时频分布的性能评价与改进06时频分布的应用场景时频分布一般理论时频表示4在不少场合，人们要求用二次型时频表示来描述信号的能量密度分布（瞬时功率谱密度），在这种更严格意义下的能量密度分布的时频表示则常被称做信号的时频分布。在很多实际应用场景中，信号常是非平稳信号，其相关函数、功率谱等统计量为时变函数，只了解信号在时域或频域的全局特性远不能满足我们的实际需求。这时更需要知道信号频谱随时间变化的情形，即使用时间和频率的联合函数来表征信号，而且把这种表征称做信号的时频表示。线性时频表示短时傅里叶变换(STFT)小波变换Grabor变换时频表示二次型时频表示Wigner-Ville分布(WVD)平滑伪Wigner-Ville分布(SPWVD)Choi-Willams分布(CWD)二次型时频分布5这里定义非平稳连续随机过程{z(t)}的时变自相关函数R(t，T)，考虑信号z(t)的对称形式，并作类似于STFT中的滑窗处理，沿T轴加权：在平稳信号中，我们定义解析信号z(t)的自相关函数：时变自相关函数R(t，T)被称为局部相关函数对局部相关函数作傅里叶变换，就可得到非平稳信号z(t)的时变功率谱，也即信号能量的时频分布：6时频分布的基本性质3.频移不变性：1.实值性：2.时移不变性：4.时间边缘特性：5.频率边缘特性：79.有限频率支撑：6.瞬时频率：7.群延迟：8.有限时间支撑：二次叠加原理8线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理会带来很大方便。但是，二次型时频分布的情况与线性时频分布大不相同，因为二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理。时频分布的二次叠加原理：令：有：自时频分布（信号项）互时频分布（交叉项）Wigner-Ville分布Wigner-Ville分布10局部相关函数R(t,T)，如对窗函数的T不加限制，而在时域取瞬时值，即：称为瞬时相关函数对瞬时相关函数作傅里叶变换，得到Wigner-Ville分布：用频谱表示：11LFM信号的Wigner-Ville分布12基于Wigner-Ville分布的信号重构定义长度为2L+1的离散信号的z(n)的离散Wigner-Ville分布：有：对上式作离散傅里叶反变换，并作变量替换：m=𝑛1−𝑛22n=𝑛1+𝑛2213当当当偶数序号的采样信号z(2n)可以由离散Wigner-Ville分布惟一重构，其间至多相差倍奇效序号的采样信号z(2n-1)也可以由惟一恢复，中间最多相差倍模糊函数模糊函数15对解析信号z(t)双线性变换（瞬时相关函数）关于时间t作傅里叶反变换，得到模糊函数：事实上，Wigner-Ville分布是模糊函数的一种简单的二维傅里叶变换：模糊函数Wigner-Ville分布相同点双线性变换信号（瞬时相关函数）的线性变换不同点变换平面时延—频偏平面时频平面物理意义相关域能量域Cohen类时频分布Cohen类时频分布1720世纪60年代中期，Cohen发现众多的时频分布只是Wigner-Ville分布的变形，它们可以用统一的形式表示：在这种统一的表示里，不同的时频分布只是体现在对积分变换核的函数形式的不同选择，而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上。这种统一的时频分布现在习惯地统称为Cohen类时频分布。被称为核函数或18,Cohen类时频分布退化成Wigner-Ville分布Cohen类时频分布是以核函数加权的模糊函数的二维傅里叶变换，可视为模糊域的滤波函数，将不需要的分量去除，所以也称为广义双线性时频分布时频分布基本性质与核函数关系191．总能量与边缘特性时间边缘特性频率边缘特性归一化能量2．实值性时频分布是实的分布的充要条件：3.时移不变性与频移不变性核函数与时间和频率无关，时移不变性与频移不变性是Cohen类时频分布的固有性质Cohen类的四种分布及其相互关系20点谱相关函数：Wigner-Ville分布、模糊函数、瞬时相关函数和点谱相关函数是Cohen类的四种分布模糊函数（v，τ）Wigner-Ville分布（t，f）点谱相关函数（f，v）瞬时相关函数（t，τ）时频分布的性能评价与改进时频聚集性22用任何一种时频分布对非平稳信号作分析时，总希望它具有很好的时频局域性，即要求它在时频平面上是高度集聚的。这一性能称为时频分布的时频集聚性我们在这里使用典型的非平稳信号——线性调频(LFM)信号，这种信号广泛用于雷达、声纳和地震等探测系统中：LFM信号的Wigner-Ville分布：对于单分量LFM信号，在所有其它Cohen类时频分布中无论怎样选择窗函数，都不可能给出比窗函数的Wigner-Ville分布具有更好的时频集聚性。根据不确定性原理，无穷宽的窗函数所对应的带宽为零，因而具有最高的频率分辨率。交叉项分析23交叉项是二次型或双线性时频分布的固有结果，它们来自多分量信号中不同信号分量之间的交叉作用。时频分布里的信号项产生于信号的每个分量本身，它们与时频分布具有有限支撑的信号的物理性质是一致的。时频分布的交叉项一般是比较严重的，即使两个信号分量在时频平面上相距足够远（两者的支撑区并不重叠），但它们的Wigner-Ville分布的交叉项仍会出现交叉项抑制24这两个约束条件合在一起可以保证：在信号等于零的时频区域，满足这些条件的任一双线性时频分布也等于零。然而，它们并不能消除掉时频分布中的交叉项。交叉项与时频分布的有限支撑特性密切相关，时频分布的“强”有限时间支撑特性又称为交叉项时间集聚特性，而“强”有限频率支撑特性也称为交叉项频率集聚特性，它们与交叉项的影响紧密相关交叉项的抑制又主要是通过核函数的具体设计来实现的。频域约束条件：时域约束条件：欲使时频分布的交叉项不出现在非信号频率处，实际上只要给核函数加上以下约束：25应当指出，交叉项的减小与信号项的维持是一对矛盾，因为交叉项的减小必然会对信号项产生拉平的负面作用。在讨论减小交叉项的问题及其方法时，通常都假定信号项与交叉项没有重叠。事实上，现在还没有任何一种减小交叉项的方法能够适用于信号项和交叉项有重叠的情况。不过在另一方面，由于信号项一般位于模糊平面即(τ,v)平面的原点附近，而交叉项又常常离原点比较远，所以很自然地希望核函数是二维低通滤波函数需要注意的是，不要认为交叉项总是有害的。在有些重要的信号处理（例如信号检测）中，交叉项也可能是有用的。从本质上讲，交叉项反映了两个不同信号分量之间的“相干”程度。作为相干的一种测度，交叉项是有害还是有用，完全取决于“相干”究竟是无用的干扰还是有用的信息。例如，在使用相干雷达探测漂浮在海面的冰山时，交叉项就是探测目标（冰山）存在的真实反映，因而也就具有可供利用的实际价值。时频分布的应用场景27绝大多数机械振动信号都属于非平稳信号，其典型特征是频谱范围很广、成分复杂而且又往往淹没在噪声和无用的信号之中。二次型时频分布通过设计时间和频率的联合函数并通过核函数的巧妙设计实施有效过滤噪声，用它来描述信号在不同时间和频率上的能量密度和强度从时域，频域和幅值域三维空间同时揭示信号成分，为机械故障诊断提供了有利的工具二次型时频分布在机械故障诊断中的应用机械故障的特征信号往往是冲击信号或周期性冲击信号，同时通用机械运转频率较低，为此核函数的构造应考虑以下原则：时域应很窄且波形陡峭，而频域较宽，频域的能量应大部分集中在低频段28从频率轴可以初步看出，在频率阶数约为30,120和200有3个明显的横向等高线，频段很窄且时域很宽，为谐波成分，对应于齿轮箱轴的旋转频率和齿轮的啮合频率。图中箭头指示的几个等间距的纵方向等高线对应时间段很窄且对应频率段很宽，是冲击信号的典型特征。时间间隔几乎完全相等，约为0.03s，相当于32.5hz，与7613轴承外环故障的通过频率比较接近，可以认为这些冲击成分是由轴承外环的斑伤故障周期性冲击引起的。某挖掘机传动桥齿轮箱实测振动加速度信号二次型分布等高线图基于时频分布的多分量LFM信号检测29线性调频(LFM)信号广泛存在于雷达、声纳及通信等领域，对其进行检测和参数估计一直都是信号处理领域受到密切关注的问题。经典的信号检测方法对接收信号进行匹配滤波，可以实现噪声背景中的有效检测，但匹配滤波基于接收信号与发射信号的互相关性，在发射信号未知的情况下很难实现回波的有效检测。基于LFM信号的非平稳特性，采用二次型时频分析方法对LFM信号进行处理。分析了多分量情况下的LFM信号时频特性，并针对时频面内LFM信号的线谱特征，分别采用霍夫(Hough)变换和若当(Radon)变换对LFM信号进行能量积累，以实现噪声背景中的LFM信号检测。Cohen类分布的重排：平滑核在点(t,w)附近划定了一个区域来分配信号WVD值的加权平均值，将分布图的值分配在区域的重心而不是几何中心，它更能代表信号的局部能量平滑核30信噪比-3dB时4分量LFM信号WHT信噪比-3dB时4分量LFM信号RPWHT信噪比-3dB时4分量LFM信号RWT信噪比-3dB时4分量LFM信号RPRWT基于Wigner-Ville分布与小波尺度谱融合的时频特征提取方法31作为两种典型的时频分布表示方法，Wigner-Ville分布(WVD)和尺度谱都存在的缺陷，体现在WVD存在严重的交叉项，尺度谱时频聚集性差。在WVD和尺度谱的基础上提出一种以消除交叉项和保持高分辨率为目的的时频特征融合算法。32仿真信号仿真信号的WVD仿真信号的尺度谱33时频融合图仿真信号的SPWVD仿真信号的CWTTHANKS