16-1平面点集与多元函数

返回后页前页§1平面点集与多元函数多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.四、n元函数一、平面点集二、R2上的完备性定理三、二元函数返回后页前页一、平面点集※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件P的点的集合,称为平(,)(,).ExyxyP满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应.(,)xy在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集,记作返回后页前页例如：(i)全平面:2R(,)|,.(1)xyxy222((.i,i))Cxyxyr圆:(2)(iii)(,),,Sxyaxbcyd矩形:(3)[,][,].Sabcd也常记作：图16–1CSxxyyOOabcdr(a)圆C(b)矩形S返回后页前页00(iv)(,):Axy点的邻域00(,)||,||()xyxxyy与方形.22200(,)()()()xyxxyy圆形AA图16–2xxyyOO(a)圆邻域(b)方邻域返回后页前页由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的邻用记号或来表示.(;)UA()UA点A的空心邻域是指:22200(,)0()()()xyxxyy圆域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并返回后页前页00(,)0||,0||.xyxxyy注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出错在何处?)0000(,)||,||,(,)(,),)(方xyxxyxyxyy或并用记号(;()())UAUA或来表示.返回后页前页※利用邻域来描述点和点集之间的关系以下三种关系之一:2RA2RE任意一点与任意一个点集之间必有是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为(i)内点——若0,(;),UAE使则称点AE的内部,记作intE.(ii)外点——若0,(;),UAE使则称点A是E的外点；由E的全体外点所构成的集合称为E的外部.返回后页前页c(;)(;)UAEUAE且0,(iii)界点——若恒有c2R\EE(其中),则称点A是E的界点;由E.E的全体界点所构成的集合称为E的边界;记作注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:EEcE只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.返回后页前页22(,)14.(4)Dxyxy图16–3xyO12例1设平面点集（见图16–3）于D;满足的一切点也224xy221xy是D的内点;满足的一切点是D的界点,它们都属2214xy满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.返回后页前页点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点——若在点A的任何空心邻域()UA内都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点．注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域()UA内都含有E中的无穷多个点”.注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记d();EE或dEE作又称为E的闭包,记作.E返回后页前页例如,对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为d22(,)14.DxyxyD其中满足224xy的那些聚点不属于D,而其余所有聚点都属于D.22(,)14.(4)Dxyxy例1设平面点集（见图16–3）返回后页前页(ii)孤立点——若点AE,但不是E的聚点（即有某δ0,使得(;)),UAE则称点A是E的孤立点.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必为聚点;既非聚点,又非孤立点,则必为外点.例2设点集(,),.Epqpq为任意整数显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有d,int,.EEEE返回后页前页※一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.开集——若E所属的每一点都是E的内点(即E=intE),则称E为开集.E为闭集.闭集——若E的所有聚点都属于E(),EE即则称E为闭集.若E没有聚点d(),E即这时也称返回后页前页例如前面列举的点集中,(2)式所示的C是开集;(3)式所示的S是闭集;(4)式所示的D既非开集,又非闭集;而(1)式所示的R2既是开集又是闭集.在平面点集中,只有R2与是既开又闭的.222(,).Cxyxyr(2)(,),,Sxyaxbcyd(3)22(,)14.(4)Dxyxy2R(,)|,.(1)xyxy返回后页前页开域——若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,则称E为开域.简单地说,开域就是非空连通开集.闭域——开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.返回后页前页在前述诸例中,(2)式的C是开域,(3)式的S是闭域,(1)式的R2既是开域又是闭域,(4)式的D是区域(但既不是开域又不是闭域).又如(,)|0,(5)Gxyxy222(,).Cxyxyr(2)(,),,Sxyaxbcyd(3)22(,)14.(4)Dxyxy2R(,)|,.(1)xyxy它是I、III两象限之并集.虽然它是开集,但因不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域.返回后页前页0,r有界点集——对于平面点集E,若使得(;),EUOr其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),则称E为有界点集.否则就为无界点集.前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.E为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域[,][,].abcdE222(,).Cxyxyr(2)(,),,Sxyaxbcyd(3)22(,)14.(4)Dxyxy2R(,)|,.(1)xyxy(,)|0,(5)Gxyxy返回后页前页此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集E的直径,就是1212,()sup(,),PPEdEPP其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)与P2(x2,y2)之间的距离,即22121212(,)()().PPxxyy于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:121323(,)(,)(,).PPPPPP返回后页前页二、R2上的完备性定理※平面点列的收敛性定义及柯西准则反映实数系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.返回后页前页2{}RnP20RP定义1设为一列点,为一固定点.00,N,,(;),nNnNPUP若使当时则称点列{Pn}收敛于点P0,记作00lim().nnnPPPPn或000(,)(,),nnnPPxyxy当与分别为与时显然有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy且0(,),nnPP若记同样地有0limlim0.nnnnPP返回后页前页由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理16.1(柯西准则)2{}RnP收敛的充要条件是:0,N,,NnN使当时都有(,),N.(6)nnpPPp证（必要性）0lim,1,0,nnPP设则由定义N,()NnNnpN当也有时,恒有00(,),(,).22nnpPPPP返回后页前页应用三角形不等式,立刻得到00(,)(,)(,).nnpnnpPPPPPP(充分性)当(6)式成立时,同时有||(,),npnnnpxxPP||(,).npnnnpyyPP这说明{xn}和{yn}都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.00lim,lim,nnnnxxyy设从而由点列收敛概念,推知{Pn}收敛于点P0(x0,y0).返回后页前页※下述区域套定理,是区间套定理在R2上的推广.定理16.2(闭域套定理)设{Dn}是R2中的一列闭域,它满足：1(i),1,2,;nnDDn(ii)(),lim0.nnnnddDd则存在惟一的点0,1,2,.nPDn返回后页前页图16–7nDnpDnPnpP0P证如图16–7所示,任取点列,1,2,.nnPDn,npnDD由于因此,,nnpnPPD从而有(,)0,.nnpnPPdn由柯西准则知道存在20R,P使得0lim.nnPP返回后页前页任意取定n,对任何正整数p,有.npnpnPDD再令,p由于Dn是闭域,故必定是闭集,因此Dn的聚点必定属于Dn,则得0lim,1,2,.npnpPPDn0P0,1,2,,nPDn最后证明的惟一性.若还有则由0000(,)(,)(,)20,,nnnPPPPPPdn0000(,)0,.PPPP得到即返回后页前页推论对上述闭域套,0,N,,NnN当时注把{Dn}改为闭集套时,上面的命题同样成立.(习题11)0(;).nDUP{}nD返回后页前页定理16.3(聚点定理)若2RE为有界无限点集,则E在R2中至少有一个聚点.证现用闭域套定理来证明.由于E有界,因此存在一个闭正方形1DE.如图16–8所示,把D1分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭正方形含有E中无限多个点,把它记为D2.再对返回后页前页E1D2D3D图16–8D2如上法分成四个更小的正方形,其中又至少有一个小闭正方形含有E的无限多个点.如此下去,得到一个闭正方形序列：123.DDD很显然,{Dn}的边长随着n而趋于零.于是由闭域套定理,存在一点0,1,2,.nMDn返回后页前页最后,由区域套定理的推论,0,,n当充分大时0(;).nDUM又由Dn的取法,知道0(;)UM中含有E的无限多个点,这就证得了M0是E的聚点.推论任一有界无限点列2{}RnP必存在收敛子{}.knP(证明可仿照R中的相应命题去进行.)列返回后页前页本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)相仿,在此从略.注将本定理中的D改设为有界闭集,而将{}改设为一族开集,此时定理结论依然成立.1.niiD定理16.4(有限覆盖定理)设2RD为一有界闭域,{}().D即则为一族开域,它覆盖了D{}在12,,,,n中必存在有限个开域它们同样覆盖了D,即返回后页前页三、二元函数※函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.返回后页前页定义2设平面点集,若按照某对应法则f,2RDD中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射),记作:R.(7)fD也记作(,),(,);zfxyxyD或点函数形式(),.zfPPD返回后页前页与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称()(,)zfPzfxy或为f在点P的函数值;全体函数值