实变函数历年考试真题汇总

第1页共6页陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A)一．填空.（每空2分，共20分）1给出自然数集N与整数集Z之间的一一对应关系.2设BA,是两集合，BA是指.30,00,1sin),(xxxyyxE,在2R内求E,E，4.设,,(),[0,1]\.xxxPfxexP其中P是Cantor集,则1,0)(dxxf________.5.设nER,则称E是L可测的是指:.6.设()sinfxx,[0,2]x,则()fx;()fx.7.称)(xf为可测集E上的简单函数是指8.设⑴mE;⑵()nfx是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶lim()()nnfxfx..ae于E,且()fx..ae于E.则0,EE,使得mE,而()nfx在上一致收敛于()fx.二.选择（每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB2.设E是任一可测集,则()．A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得(\)mGE;C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.3.下列关系式中成立的是（）①ABBA\，②ABBA\，③BABA，④BABA，⑤BABA，其中BA,是二集合.A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤4.设nER,mE,()nfx在E上几乎处处收敛于()fx.则().A．()nfx在E上处处收敛于()fx;B．存在()nfx的子列()infx,使得()infx在E上一致收敛于()fx.C.()nfx在E上一致收敛于()fx;D.()nfx在E上依测度收敛于()fx;5.设qRE为可测集，()nfx是E上的一列非负可测函数，则（）AEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limBEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limCEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limDEnnnEndxxfdxxf)(lim)(lim三．判断题(每题2分，共10分)1.0mEE是有限集或可数集.（）2.若开集1G是开集2G的真子集,则12mGmG（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.设()fx,()gx是可测集E上的可测函数,则()()fxgx也是E上的可测函数（）5.可测函数)(xf在E上L可积)(xf在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：设()fx是(,)上的实值连续函数,则aR,()Exfxa是试卷密封装订线院系班级姓名学号第2页共6页一开集.2.设qRE,证明存在G型集GE,使得EmGm**3．证明：黎曼函数中的无理数，及，为为既约分数，为自然数，且,1010,0,,,1)(xqpqpqpxqxR是,10上的可测函数4.设函数列()nfx(1,2,)n在有界集E上“基本上”一致收敛于()fx（即0,EE,使得()nfx在E上一致收敛于()fx且()mEE.）证明:nf在E上..ae收敛于f.5.设0mE,()fx在E上可积,如果对于任何有界可测函数()x,都有()()0Efxxdx,则()0fx..ae于E.五．计算题(每题10分，共20分)1．设3[0,1][0,1],,()1,.xxQfxxQ问()fx在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值.2．15220limsin1nnxxdxnx陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数论期末试题(B)一．填空.（每空2分，共20分）1给出(1,1)与(,)之间的一一对应关系.2设BA,是两集合，BA是指.31),(22yxyxE,在2R内求E,E，4.设,,(),[0,1]\.xxxPfxexP其中P是Cantor集,则1,0)(dxxf________.5.设nER,则称E是L可测的是指:.6.设xxfcos)(,[0,2]x,则()fx;()fx.7.称)(xf为可测集E上的简单函数是指8.设⑴mE;⑵()nfx是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶lim()()nnfxfx..ae于E,且()fx..ae于E.则0,EE,使得mE,而()nfx在上一致收敛于()fx.二.选择.每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB2.设E是任一可测集,则()．A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得(\)mGE;C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.3.下列关系式中成立的是（）①ABBA\，②ABBA\，③BABA，试卷密封装订线第3页共6页④BABA，⑤BABA，其中BA,是二集合.A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤4.设nER,mE,()nfx在E上几乎处处收敛于()fx.则().A．()nfx在E上处处收敛于()fx;B．存在()nfx的子列()infx,使得()infx在E上一致收敛于()fx.C.()nfx在E上一致收敛于()fx;D.()nfx在E上依测度收敛于()fx;5.设qRE为可测集，()nfx是E上的一列非负可测函数，则（）AEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limBEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limCEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limDEnnnEndxxfdxxf)(lim)(lim三．判断题(每题2分，共10分)1.0mEE是有限集或可数集.（）2.若开集1G是开集2G的真子集,则12mGmG（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.设()fx,()gx是可测集E上的可测函数,则()()fxgx也是E上的可测函数（）5.可测函数)(xf在E上L可积2f在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：设()fx是(,)上的实值连续函数,则aR,axfxE)(是一闭集.2.证明:若E可测,则0,存在开集G,使GE,而()mGE3．证明：黎曼函数中的无理数，及，为为既约分数，为自然数，且,1010,0,,,1)(xqpqpqpxqxR是,10上的可测函数4.设0mA，B为任一点集，则有BmBAm*)(*.5.设0mE,()fx在E上可积,如果对于任何有界可测函数()x,都有()()0Efxxdx,则()0fx..ae于E.五．计算题(每题10分，共20分)2．设.1,01,0,1,,)(QxQxxxf问()fx在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值.2．dxxnnxn10221lim陇东学院2012—2013学年第二学期实变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）试卷密封装订线院系班级姓名学号第4页共6页1.给出1,0与10,0之间的一一对应关系.2.设10,1nAn,1,2,n.则limnnA.3.设E是平面上单位正方形[0,1][0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则mE__________.4.设1E是[0,1]中的全部有理点,则1E在1R内的1E,1EE.5.举出一个在[0,1]上Lebesgue可积但不Riemann可积的函数()fx______.6.设nER,则称E是L可测的是指:.7.设()fx是定义在可测集nER上的广义实值函数,则称()fx在E上是可测的是指:.8.设()fx是可测集nER上的可测函数,若()Efxdx与()Efxdx中至少有一个是有限数,则()fx在E上的L积分定义为()Efxdx.二.选择.每题2分，共10分）1.设1E是)1,0(中的无理点集,2E是1R中的有理点集,3E是)1,0(,P是康托集,其中基数最小的是().A.1EB.2EC.PD.3E2.设E是任一可测集,则()．A.E是开集B.0,存在开集GE,使得(\)mGEC.E是闭集D.E是F型集或G型集3.设nE是一列可测集合,且12nEEE,则有().A.1limnnnnmEmE;B.1limnnnnmEmE;C.1limnnnnmEmE;D.1limnnnnmEmE.4.设()nfx在E上依测度收敛于()fx.则().A．()nfx在E上处处收敛于()fxB．()nfx在E上几乎处处收敛于()fxC.()nfx在E上一致收敛于()fx;D.存在()nfx的子列()infx,使得()infx在E上几乎处处收敛于()fx5.设qRE为可测集，()nfx是E上的一列非负可测函数，则()AEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limBEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limCEnnnEndxxfdxxf)(lim)(limDEnnnEndxxfdxxf)(lim)(lim三．判断题(每题2分，共10分)1.不是A的聚点必不是A的内点（）2.0mE则E是至多可数集.（）3.设E是可测集,A是可数集,则mEAEm)(（）4.设()fx是可测集E上的可测函数,则)(xf也是E上的可测函数（）5.设)(xf是E上的有界可测函数,则)(xf在E上L可积（）第5页共6页四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：CABACBA\\\2.设)(xf是,上的实值连续函数,则对于任意常数a,axfxE)(总是一闭集.3.设0mA，B为任一点集，则有BmBAm*)(*4.设qER为可测集,()fx为E上的非负可测函数.若()0Efxdx,则()0fx..ae于E5.设函数列()nfx(1,2,)n在有界集E上“基本上”一致收敛于()fx,即0,EE,使得()nfx在E上一致收敛于()fx且()mEE.证明:nf在E上..ae收敛于f.五．计算题(每题10分，共20分)1.设.1,0,1,1,0,)(2，QxQxxxf问()fx在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值.2．dxnxxnnxn1022cos1lim陇东学院2014—2015学年第二学期变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）1.给出1,0与2,2之间的一一对应关系.2.设BA,是两集合，BA是指.3.1),(22yxyxE,在2R内求E,E，4.设nER,则称点集E是L可测的是指:.5.设)(xf是定义在可测集E上的广义实值函数,则称)(xf在E上是可测的是指:.6.称)(xf为可测集E上的简单函数是指:7.设qRE为可测集，)(xf为E上的可测函数，若Edxxf)(与Edxxf)(中至少一个有限，则称)(xf在E上；若Edxxf)(与Edxxf)(都有限，则称)(xf在E上.8.设qRE为可测集，)(x为E上的非负可测简单函数，即kkiEiEEExcxi,,,)()(