数学归纳法经典例题及答案

1数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n取第一个值0n（如01n或2等）时结论正确；（2）假设当0(N,)nkkkn时结论正确，证明1nk时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：1212121751531311nnnn证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：1212121751531311kkkk．当n=k+1时．3212112121751531311kkkk3212112kkkk321211232121322kkkkkkkk1121321kkkk这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n等式成立．2题型2.证明不等式例2．证明不等式nn2131211(n∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边右边，不等式成立．②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211．那么当n=k+1时，11131211kk1112112kkkkk12112111kkkkkk这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是1211131211kkk，当代入归纳假设后，就是要证明：12112kkk．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1)3.解：(1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)53令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2bn＝a22n－3＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝k(k＋1)(k－1)3成立那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝k(k＋1)(k－1)3＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝k(k＋1)(k－1)3＋k(k＋1)＝k(k＋1)k－13＋1＝k(k＋1)(k＋2)3＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)－1]3＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1)3.