理科-数学归纳法练习

1数学归纳法导学目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．自主梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．2．数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．3．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立．(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．自我检测1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．如果命题P(n)对于n＝k(k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对所有正整数n成立B．P(n)对所有正偶数n成立C．P(n)对所有正奇数n成立D．P(n)对所有大于1的正整数n成立3．(2011·台州月考)证明n＋221＋12＋13＋14＋…＋12nn＋1(n1)，当n＝2时，中间式子等于()A．1B．1＋12C．1＋12＋13D．1＋12＋13＋144．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．65．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3探究点一用数学归纳法证明等式例1对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．2变式迁移1(2011·金华月考)用数学归纳法证明：对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.探究点二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－12n＋12均成立．变式迁移2已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x－1时，(1＋x)m≥1＋mx.探究点三用数学归纳法证明整除问题例3用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．变式迁移3用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．3从特殊到一般的思想例(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．【答题模板】解(1)由已知得a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，∴a5a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分]∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，化简，得bn＝13bn－1，[4分]∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，即bn＝23·13n－1＝23n，∴an＝2n－1，bn＝23n.[6分](2)∵Sn＝1＋2n－12n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，1bn＝3n2.以下比较1bn与Sn＋1的大小：当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2S3，当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b3S4，当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，∴1b4S5.猜想：n≥4时，1bnSn＋1.[9分]下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，1bkSk＋1，即3k2(k＋1)2.[10分]那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝3·3k23(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，1bnSn＋1也成立．[12分]由①②可知n∈N*，n≥4时，1bnSn＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1bnSn＋1，当n≥4时，1bnSn＋1.[14分]【突破思维障碍】1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．【易错点剖析】1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．42．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．1．数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．2．(1)第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．(2)第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2命题成立2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋143．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对n∈N*成立B．P(n)对n4且n∈N*成立C．P(n)对n4且n∈N*成立D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立4．(2011·日照模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)25．(2011·湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是()A．若f(3)≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)k2成立C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k7，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立二、填空题(每小题4分，共12分)6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．7．(2011·南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，5不等式的左边增加的式子是______________．8．凸n边形有f(n)条对角线，凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线，则f(n＋1)＝f(n)＋________.三、解答题(共38分)9．(12分)用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．10．(12分)(2011·新乡月考)数列{an}满足an0，Sn＝12(an＋1an)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．11．(14分)(2011·郑州月考)已知函数f(x)＝1x2e－1|x|(其中e为自然对数的底数)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)在(－∞，0)上求函数f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当x0时，对任意正整数n都有f(1x)n！·x2－n.39数学归纳法自主梳理1．一般结论完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk＋13．(1)n0(n0∈N*)(2)n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1自我检测1．C[当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2.]2．B[由n＝2成立，根据递推关系“P(n)对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P(n)对所有正偶数n成立”．]63．D[当n＝2时，中间的式子1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.]4．C[当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，2222＋1；当n＝3时，2332＋1；当n＝4时，2442＋1.而当n＝5时，2552＋1，∴n0＝5.]5．A[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．]课堂活动区例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．证明设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立．变式迁移1证明(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1