两自由度系统的振动

第四章两自由度系统振动◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，那么这个系统就是两个自由度系统。◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固有振型叠加。◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时的振型就是与固有频率相应的固有振型。4.1两自由度系统振动微分方程4.2两自由度系统的自由振动主要内容最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统，如图所示的弹簧-质量系统。弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。简谐振动54.1两自由度系统振动微分方程例1如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。取m1与m2的静平衡位置为坐标原点，描述m1与m2位置的坐标为x1和x2。)(1221111xxkxkxm2312222)(xkxxkxm取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛顿运动定律有系统的受力如图4.1-1(b)所示。图4.1-1方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成移项得0)0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm（(4.1-1)1112212232220000xxkkkmkkkmxx(4.1-2)由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。例2：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)8解：,1x2x21,mm的原点分别取在的静平衡位置1、建立坐标：设某一瞬时：21mm、、1x2x上分别有位移21xx、加速度受力分析：F1(t)k1x1k2(x1-x2)11xmm1F2(t)k2(x1-x2)22xmm2k3x2m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就可以确定，系统具有两个自由度2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程0)(11122111xmxxkxktF0)(22231222xmxkxxktFtFxkkxkxmtFxkxkkxm2232122212212111)()(tFxkkxkxmtFxkxkkxm2232122212212111)()(矩阵形式tFtFxxkkkkkkxxmm21213222212121002100mmM322221kkkkkkK质量矩阵刚度矩阵3、写成矩矩阵形式21xxtX位移矢量21FFtF激振力矢量tFtKXtXM11例3：转动运动两圆盘转动惯量21,JJ轴的三个段的扭转刚度321,,kkk试建立系统的运动微分方程1k1J22J2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩12解：1、建立坐标：角位移21,设某一瞬时：角加速度21,受力分析：1k1J22J2k3k)(1tM)(2tM111k11J)(1tM)(212k22J)(2tM33k)(122k132、建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkJtMkkJ3、矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkJJ11k11J)(1tM)(212k22J)(2tM33k)(122k14)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm)()(0021213222212121tMtMkkkkkkJJ多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM15例4：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Jc。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1和k2的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微分方程。选取D点的垂直位移和绕D点的角位移为坐标。DDxABCDa1a2el1l2lk1k2上下FDMDxDθD仰俯摇摆xD-a1θDxD+a2θDθCxC17ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式18ABCDa1a2el1l2lk1k2解：1、建立广义坐标，并受力分析。车体所受外力向D点简化为合力PD和合力矩MD。DCDDxCxKAFKBFDMDFo2、写出车体运动的两个运动微分方程DDKAaxkF11DDKBaxkF22ABDDDDDCaxkaxkFxm2211DDDDDDDDxmeaaxkaaxkMJ22222111（a）（b）由DDCexxDDCexx由动量矩定理得：2meJJCD代入（a)、（b)得：DDDDCDDDDDDMakakxakakmeJxmeFakakxkkmexm2222111122211222120MmeJmememC2质量矩阵刚度矩阵Kakakakakakakkk2222111122112221车体的运动微分方程可表示为:3、写成矩矩阵形式tXxDDtFMFDDtFtKXtXM21小结：)()(0021213222212121tFtFxxkkkkkkxxmm)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII可统一表示为：)(tPXKXM例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为n维1、固有频率求解0)(0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm令：121mkka12mkb22mkc231mkkd00212211dxcxxbxaxx4.2两自由度系统的自由振动（1）（1）式可表示为：m1m2k3k1k2x1x2有上一讲可知系统的运动微分方程为：：（2）假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：tAxtAx022011sinsin00212211dxcxxbxaxx（2）（3）●因为方程(2)是齐次的，如果x1和x2为方程(4.1-4)的一个解，那么与其相差一个常数因子的x1和x2也将是一个解。●通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是x1和x2同步运动的解。有趣的“同步化”现象最早观察到同步化现象的科学家是荷兰的物理学家克里斯蒂安·惠更斯(ChristianHuygens1629-1695)。根据伽利略(GalileoGalilei1564-1642)发现的钟摆的等时性原理，他于1656年把单摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。1665年2月的一天，因为身体不适，他躺在家里休养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。有趣的现象：墙壁上并排悬挂着的两只钟，这两只钟的钟摆竟然在按照相同的位移（拍子）摆动！经过连续几个小时的观察之后，结果还是一样。而且就算强行将其中一只钟的钟摆拨成相反位移的运动，不到30分钟，也还是恢复成相同的位移。只有将一只钟挂到另一面墙上后，两只钟的位移才开始渐渐分出不同，到最后甚至连一天的周期也产生了5秒左右的差别。后来，他又通过实验推断，这两只钟的同步运动可能是由两只钟之间的空气振动或者是墙壁的轻微振动导致的。沿着弯弯曲曲的河道走进茂密的森林，黄昏洒下温柔的光辉，落在森林的枝杈上，一闪一闪，好像一两星萤火虫的光芒。夜渐渐深了，不知不觉，岸边的树林被成群的萤火虫，点成了一座星星的城堡。不过最壮观的却是深夜的某一时刻，好像在谁一声令下似的，所有原来此起彼伏，各自发光的萤火虫们，全都开始同时明暗，变得整齐一致了！除了萤火虫的发光之外，自然界里到处都可以发现同步化现象。由一万多个细胞组成的心脏搏动器总是按照同一个的节奏产生着脉冲信号；知了每17年都会一起爬到地面上来进行繁殖；秋天晚上的蟋蟀们，也好像有谁指挥一样，齐刷刷地奏出优美动听的大合唱。以上现象存在着三个共同点：(1)每个个体都在进行各自不同的周期性运动；(2)它们的运动节奏在某一瞬间变得一致；(3)它们身上都应该存在某种导致这种现象的媒介物质。物理学家们把这种做周期性运动的个体称为“振动体”，把通过媒介物质连接在一起的振动体称为“耦合振动体”，又把他们同时改成同一节奏运动的现象叫做“同步化”现象。◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动体的运动形态是多种多样的。让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。四只脚的动物：兔子在奔跑的时候，两只前脚移动的位移相同，但两只后脚移动的位移却和前脚的相反。长颈鹿，是同侧的前后两只脚一起移动。左前脚和左后脚一起动，右前脚和右后脚一起动。马的走路方式有些特别，做位移相同移动的是对角线上的两只脚，即左前脚和右后脚一起动，而右前脚则和左后脚一起动。大象体积庞大，走起路来更是别具一格，四只脚移动时分别各自相差90度的位移差。没有一只脚做的是相同位移的移动。◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞)看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出振动体的特点。1998年匈牙利的物理学家塔马斯·维塞克在布达佩斯音乐学院举行的一场音乐会上意外地发现了同步化的现象。演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了