反余弦函数、反正切函数

1课题6.4：(2)反余弦函数、反正切函数教学目标1．理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2，2）.2．知道反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]和反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=-arctanx，x∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.教学重点及难点教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.教学过程一、情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[,22]存在反函数.2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一余弦值y和正切值y都有无数个角值x与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得xycos或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得xycos或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）xycos和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到xycos的一切函数值1,1，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得xycos在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2，2），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1．概念讲解（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；正切函数y=tanx，x∈（-2，2）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；2（2）反正弦函数的性质：①图像y=arccosxy=arctanx②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y=arctanx的定义域是R.③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y=arctanx的值域是（-2，2）.④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos21；（2）arccos（-23）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-33）解：（1）因为cos3=21，且3∈[0，π]，所以arccos21=3.（2）因为cos65=-23，且65∈[0，π]，所以arccos（-23）=65.（3）因为cos2=0，且2∈[0，π]，所以arccos0=2.（4）因为tan4=1，且4∈（-2，2），所以arctan1=4.（5）因为tan（-6）=-33，且-6∈（-2，2），所以arctan（-33）=-6.例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有∠A=arcsin1312=arccos135=arctan512；∠B=2=arcsin1=arccos0；∠C=arcsin135=arccos1312=arctan125.例3．化简下列各式：（1）arccos（cos7）；（2）sin[arccos)21(]；（3）cos[arctan（-1）]解：（1）因为7∈[0，π]，设cos7=α，所以arccosα=7，即arccos（cos7）=7.（2）因为arccos)21(=32，所以sin[arccos)21(]=sin32=23.（3）因为arctan（-1）=-4，所以cos[arctan（-1）]=cos(-4)=22.3例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.(1)f（x）=2+arccos2x；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）解：（1）设y=2+arccos2x，则arccos2x=y-2，因为2x∈[-1，1]，arccos2x∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[2，23]，根据反余弦函数的定义，得2x=cos（y-2），即x=2cos（y-2）.将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cos（x-2），定义域是[2，23]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R，arctan（2x-1）∈（-2，2），所以x∈R，y∈（25，27），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=21（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=21（1-tanx），定义域是（25，27），值域是R.3．问题拓展例5．证明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴cos[arccos（-x）]=-x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].例6．证明等式：arctan（-x）=-arctanx，xR.证明：因为tanarctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tanarctanx，又由arctanx（-2，2），得-arctanx（-2，2），再有arctan（-x）（-2，2），且正切函数在（-2，2）上单调递增，所以arctan（-x）=-arctanx，xR.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）cos（arccos2）=2；（2）arctan3=3；（3）arcsin（-23）=arcos(-21)；（4）arccos32+arccos(-32)=0；（5）arctan3+arctan(-3)=0.解：（1）式不成立，因为2[-1，1]，故arccos2无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-23）=-3，而arcos(-21)=32，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos（-x）=π-arccosx错记成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx.四、作业布置练习册P44习题6.4(A组)5,习题6.4(B组)1、2。