夹逼定理

第六节夹逼定理无穷小的比较一．夹逼定理定理1：如果数列nx、ny及nz满足下列条件：（1）nnnzxy,(,3,2,1n)。（2）aynnlim，aznnlim。则数列nx的极限存在，且axnnlim定理2：设函数)(xf在点a的的某一去心邻域),(aU内（或Xx时）满足条件：（1）)()()(xhxfxg。（2）Axgax)(lim，Axhax)(lim（或Axgx)(lim，Axhx)(lim）。则)(limxfax存在，且Axfax)(lim（（或)(limxfx存在，且Axfx)(lim）。注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。（2）定理1中的条件（1）改为：nnnzxy,(,3,2,1n)，结论仍然成立。例1：求下列极限（1）nnn11lim（2）)1...2111(lim222nnnnn二．两个重要极限（1）1sinlim0xxx。（2）exxx)11(lim，（exxx10)1(lim，ennn)11(lim）。例2：求下列极限（1）xxxtanlim0（2）30sintanlimxxxx（3）203coscoslimxxxx例3：求下列极限（1）xxx2)21(lim（2）212)2(limxxx（3）xxxx)55(lim三．无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管,3,1,,,2xCosxSinxxx都是0x时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设)(x，)(x是当0xx时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(xx，)()(xx，)()(xx都是当0xx时的无穷小量。但)(/)(xx当0xx时是否是无穷小量呢？,)(xx，2)(xx，xxsin)(，xxcos1)(当0x时都是无穷小量，0)()(lim0xxx，1)()(lim0xxx，21)()(lim0xxx，)()(lim0xxx。1．定义：设0lim，0lim，（1）如果0lim，就说是比高阶的无穷小，记作)(o；（2）如果lim，就说是比低阶的无穷小；（3）如果0limc，就说是与同阶的无穷小；（4）如果1lim，就说与是等价无穷小，记作~。2．等价无穷小的重要性质定理3：设/~,/~,且//lim存在，则lim=//lim。推论（1）：设/~,/~,且//)()(limxgxf存在，则)()(limxgxf存在，且)()(limxgxf=//)()(limxgxf。注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化计算，但注意在加、减运算中不能用。例4：求下列极限（1）xxxxxtansintanlim20（2）1tan1tan1lim0xxexx例5：当0x时，试比较下列无穷小的阶（1）232xx2x（2）xxcos22x3．常用的等价无穷小替换0x：xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan，xx~)1ln(，xex~1；2~cos12xx，xx~)1(。上一节下一节返回