数学分析简明教程答案(尹小玲-邓东皋)

i第九章再论实数系§1实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1;sup1,inf0;(2)[2(2)];sup,inf;1(3),1,(1,2,);sup,inf2;1(4)[1(1)];nnnnnnnnnnkknnnnxxxxxxnxnxxxkxkxxknxn求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界：(1)sup3,inf0;(5)12;sup2,inf1;123(6)cos;sup1,inf.132nnnnnnnnnnnxxxxxnnxxxn2.(),(1)sup{()}inf();(2)inf{()}sup().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.xDxDxDxDxDfxDfxfxfxfxAfxixDfxAiixDfxAixDfxAii设在上定义求证：证明：设即有对有对使得于是有对有对0,().inf(),inf(),sup{()}inf()xDxDxDxDxDfxAAfxAfxfxfx使得那么即因此有成立。(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup(),sup(),xDxDxDBfxixDfxBiixDfxBixDfxBiixDfxBBfxAfx设即有对有对使得于是有对有对使得那么即因此有inf{()}sup()xDxDfxfx成立。ii111222223.sup,,{},lim;,.sup,.,;.0,,.11,,;2211,,;22nnnnEEExxxEiEixExiixExxExxEx设且试证从中可选取数列且互不相同使得又若则情况又如何？证明：由于那么可知对有成立对使得那么取则使得取则使得333330011,,;2211,,;22{},lim{}(),;,,2,,limnnnnnnnnnnnxExxExxExxNnNx取则使得取则使得我们得到数列且由夹迫性原理可知有成立。如果有无限个数彼此相同设等于那么必有否则可知对有使得成立这与;,{},{}(;){}..,[1,2],{2,1,3,51}nnnnxExxxiiEEE矛盾但是我们知道矛盾。因此至多只有有限个数彼此相同我们只需要将中的相同的数剔除剔除到只余一个如果还有有限个彼此相同的数,继续剔除即可就可以得到满足条件的数列如果则可能找不见这样的数列。对于我们可以找见满足条件的数列,但当的时候,我们找不见这样的数列。124.,,.{}lim,{},{}.{}lim,100,,100min{,,,,100},nnnnnnnnnNixxaxxiixxNnNxmxxx试证收敛数列必有上下确界趋于的数列必有下确界趋于的数列必有上确界。证明：对于数列如果有那么可知数列必有上下界那么可知数列必有上下确界。若对于数列如果有那么对于存在当时,有成立。那么我们取可以知道对{}{}.,nnxxxmxiii于任意可知有成立,于是数列有下界,则由确界定理可以知道此数列必有下确界。同理可证得趋于的数列必有上确界。5.(1);;1(2);1;(3);(1);1(4),(1).nnnnnnxnxnxnxn试分别给出满足下列条件的数列：有上确界无下确界的数列含有上确界但不含有下确界的数列既含有上确界又含有下确界的数列既不含有上确界又不含有下确界的数列其中上下确界都有限.iii[,][,]',''[,][,][,]6.()[,],[,]sup()inf(),[,]sup(')('').sup(),inf();.[,],(),fxabxabfxxabxabxabfxababfxfxabfxfxfxfxixabfxf设在上有界定义求证：证明：设那么可知对于有121122122112();.0,'[,],''[,]('),('').22,[,],(),();(),(),()(),()()()()xiixabxabfxfxxxabfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx成立对于使得对于有于是成立,即****1212**12**12',''[,].0,,[,],(),(),22()(),()().sup(')(''),[,xxabfxxabfxfxfxfxfxfxfxfxab由于对于使得即成立故有综上可知即',''[,]]sup(')('').xxabfxfx000000010107.(),11()lim,.()()0.;()0,0,()()3ffnffxxxxxnnfxxxfxxxxfxfx设在附近由定义且有界定义证明：在连续的充要条件为证明：必要性如果在连续,那么对于总当的时候有成立。1112001011020120021112lim0,,,.211,,,,()(),3()().3110,,,,()(nNnNnnnxxxxxxfxfxnnfxfxNnNxxxxnnfxfx由于因此当的时候有即那么对于由于因此同理我们可得综上有对于当的时候,对于有20012)()()()(),333fxfxfxfxiv12002111,,00000002sup()(),311()lim,0.11;lim,0,0,0,,11,,supxxxxnnffnfnxfxfxxxxnnxxNnNnnxxxnn于是必有因此充分性如果那么对于当的时候对于任意有00000011,0011,01()().0,,1()()sup()()()xxnnxxxnnfxfxxxnfxfxfxfxfxx那么对于取当的时候,有成立,因此函数在点连续。8.(),(),0,inf()inf()inf{()()}inf()sup()sup()sup()sup{()()}.xDxDxDxDxDxDxDxDfxgxDfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxi设在上有界且大于求证：证明：1212121212.inf(),inf();inf{()()}.,(),().(),()0,,()();()()inf{()()},xDxDxDxDfxgxfxgxxDfxgxDfxgxxDfxgxfxgxfxgx设那么对于任意有又由于在上有于是对于任意有因此是函数的一个下界,由于故有22,inf()inf()inf{()()}..sup()sup()sup{()()}..sup(),,()0,()()()infxDxDxDxDxDxDxDxfxgxfxgxiifxgxfxgxiiigxxDfxfxgxfx即同理可证得设于是对于任意由于因此总有成立。于是有2{()()}inf{()}inf()sup()..inf()sup()sup()sup().DxDxDxDxDxDxDxDfxgxfxfxgxivfxgxfxgx同理可得综上即知所证成立。§2实数闭区间的紧致性v1.9.29.3.{},[,].{}[,],(,),{}{}(),0,,0;nnonnnnxxabxxabUxxxxnxx利用有限覆盖定理证明紧致性定理证明：设数列有界令使用反证法证明：设有界数列不含有收敛子列,则存在去心邻域其中不含有数列中的项。否则的任意去心邻域必含有数列中的无穷多项若仅含有有限项,则满足要求的去心邻域必存在即使得那么我们如下构造数列：1121111221211,,0;1min(,),,0;21min(,),,0;1{},,();,kkkkknnnknkknknnnnxxxxnnxxxxnnxxkxxxxxkk取使得取使得取使得易知所构造的子列满足于是有因此如果紧致性定理不成立则[,],(,),{}{(,)|[,]}[,]{(,)|[,]}[,]{}{}[,]onnnxabUxxUxxababUxxababxxab存在去心邻域其中不含有数列中的项。那么开区间集合是闭区间的一个覆盖,由有限覆盖定理可以知道,中有有限个开区间可以把区间覆盖。但是我们知道这些有限个开区间中只可能含有数列的有限项,这与数列是上的一个无穷数集相矛盾。2.9.3,,.lim;0,0,,.,,,lim.kkkkknnnnnnkKnnnxxxxAKkKxAAxANnnNAxAxA利用有紧致性定理证明单调有界数列必有极限。证明：设数列单调增加有界由紧致性定理可以知道存在收敛子列设那么对于当时,有成立即取由单调性可以知道当时有成立于是vi13.{}{}sup{},inf{},0,{};{}0,,.{}:knnnnNnnnnxxxxxxxxNnNxx用区间套定理证明单调有界数列必有极限。证明：不妨设设数列单调上升有上界,那么由确界定理可以知道数列必有上下确界。设于是对于使得那么由于数列单调递增,可知对于当的时候,有我们如下构造数列取11112222122233332333,,,1;222,,,2max(,);22,,,2max(,);22nnnNnNxnNNnNxnnNNnNxnnN当时,令取当时,令取当时,令1,,,2max(,);22{},{[,]}{[,]}(1,2,).2[,]limlim,limkkkkknkkkkknkkknkkkknkkkNnNxnnNxabkxababx取当时,令于是我们的一个数列及一个区间套显然有且利用极限的两边夹法则可以知道.0,0,,;,{},,lim.kknKnnnnnKkKxNNxnNxxx即对于当的时候有那么取由数列的单调性可以知道,当的时候有即于是可知vii11224.:,[,][,][,]0,1.,0,,nnnnnnabababbaiabn试分析区间套定理的条件若将闭区间列改为开区间列结果怎样？若将条件去掉或将去掉结果怎样？试举例说明。答：若将闭区间改为开区间则可能套不到一个公共点,例如显然有111221,..[,][,][,],11,,42[,],10,,lim0,,.nnnnnnnnnnnnnabiiabababrnabnbaabi若将条件去掉则可能找不见一个实数包含于所有的区间里例如其他显然但是11.lim0,,[,]1,,,[1,0].nnnnnnnniibaabnab若无则得到的可能不是一个点