数学分析简明教程答案(尹小玲-邓东皋)第11章

第十一章广义积分§11.1无穷限广义积分1.求下列无穷积分的值：（1）2211dxx；（2）22)1(1dxxx；（3）)0(02adxxeax；（4）)0(sin0abxdxeax；.（5）021dxxx；（6）)0,()()(022qpqxpxdx．解（1）3ln21)31ln11(ln21lim11lim112222AAdxxdxxAAA．（2）2ln21)2ln1(ln21lim)1(1lim)1(1221212AAdxxxdxxxAAA．（3）a211a21limlim22200）（edxexdxexaxAAaxAax．（4）设0sinbxdxeIax)0(a，则)cossin1(limsinlim000AaxAaxAAaxAdxbxeabbxeabxdxeI)sincos(lim002AaxAaxAbxdxebbxeabIababbxdxeababbxdxeababaxAaxA22202220222sinsinlim，所以，22babI．（5）作变换yx，则有dyyyyyyyyyyydyyydxxx)21)(21()21(22)21(221212222422)22(21)(2121)21(42222yydyyyyd)22(2121)21)21(42222ydyyyyydCyyyyyy)]12arctan()12[arctan(222121ln4222Cxxxxxxy)]12arctan()12[arctan(221)21(ln4222，所以，)]12arctan()12[arctan(221)21(ln4212202AAAAAdxxxA)(22)22(22A，即，22102dxxx．(6)由于当qp时，用nnxadxI)(22的地推公式，pxdxppxxppxdxqxpxdx2222222121)())((Cpxpppxxparctan21212所以，时，0qppppApppAAppxdxAAA4)arctan2121(lim)(lim2022，当qp时，由于dxpxqxqpqxpxdxqpqpqxpxdx)11(1))(()(1))((222222Cpxpqxqqp)arctan1arctan1(1，所以，当qp时，AAqxdxqxpxdx02022)(lim))(()(2)arctan1arctan1(1limqppqpApqAqqpA两种情况下，即只要0,qp，就有022)(2))((qppqqxpxdx．2.讨论下列积分的收敛性：（1）0341xdx；（2）031arctandxxx；（3）＋121sindxx；（4）０dxxxsin11；（5）022sin1dxxxx；（6）)0,(10mndxxxnm；（7）０　1242xxdxx；（8）13211dxxx；（9）)0(02pdxexx；（10）1lndxxxp；（11）12lndxxxn（n是正整数）；（12）02sindxxx；（13）01cosdxxaxn；（14）1]11)11[ln(dxxx；（15）1)1sin1ln(cosdxxx；（16）０dxxx1222sin1ln1．解（1）111lim3434xxx，所以积分0341xdx收敛．（2）21arctanlim32xxxxx，故所求积分收敛．（3）111sinlim1sinlim2222xxxxxx，因此所求积分收敛．（4）0x，有011sin11xxx，且)1ln(lim1lim10AxdxxdxAAA０，即01xdx发散，由比较判别法知０xxdxsin1发散．（5）0x，有01sin1222xxxxx，而11lim2xxxx，无穷积分021dxxx发散，由比较判别法知022sin1dxxxx发散．（6）因为11limnnxxx，所以，当1mn，即1mn时，01dxxxnm收敛；当1mn，即1mn时，01dxxxnm发散．（7）　11lim2422xxxxx，所以积分收敛．（8）1111lim11lim323235xxxxxx，所以积分收敛．（9）因为xpxxpxxpxexpexexx122)2(limlim)(lim0])[()1)(2(lim][xppxexpppp，所以无穷积分收敛．（10）若1p，则可以选取00，使得10p，由于0lnlimlnlim00xxxxxXppx，所以1lndxxxp收敛；若1p，则当ex时，ppxxx1ln，而11dxxp发散，由比较判别法，1lndxxxp发散．从而，．时发散时收敛1p,,1p,ln1dxxxp（11）由于012)1(22limln2limlnlimlnlim2121121223xnnxxnxxxxxxnxnxnx，所以无穷积分12lndxxxn收敛．（12）因为xxxxxxx22cos2122cos1sin2，而21)0sin2(sin212cos0AxdxA，对一切0A成立，x21在[1，+)单调下降，且当x时趋于0，由Dirichlet判别法122cosdxxx收敛，又12xdx发散，所以02sindxxx发散（0x是可去间断点）．（13）当1n时，由于nnxxax111cos，而011dxxn收敛，所以01cosdxxaxn收敛，故这时不论Ra是哪个常数，01cosdxxaxn均绝对收敛．当10n时，若0a，则由于aaAaaxdxA1sin1cos0，而nx11在),0[单调递减，且当x时趋于0，由Dirichlet判别法知，无穷积分收敛，但由于)1(22cos)1(211cos1cos2nnnnxaxxxaxxax，则由于0)1(21dxxn发散，同样由Dirichlet判别法知0)1(22cosdxxaxn收敛，故021cosdxxaxn发散，由比较判别法知012cosdxxaxn发散，故这时无穷积分条件收敛．当10n且0a时，无穷积分为011dxxn发散．当0n时，无穷积分为,02Alim,0sin21lim2coslim2cosAA00aaaAadxaxdxaxAA，不存在，故这时，不论a为何常数，积分发散．当0n时，若0a，无穷积分为011dxxn发散．以下假设0a，0820a，NKA,0，使得Aaak42且142naak，这时0424282)44(421cosaaadxxaxaakaakn，由Cauchy收敛原理，01cosdxxaxn发散．综上，积分01cosdxxaxn当0n时绝对收敛；当10n且0a时条件收敛；其他时候发散．（14）因为)1(21))1(11(1)1(21111)11ln(2222xoxxoxxxoxxxx，所以，1]11)11[ln(dxxx收敛．（15）因为xxxxxxxx1)1sin1ln(coslim)1sin1ln(coslim11sin1cos1sin1coslim)1)(1sin1(cos)1(1cos)1(1sinlim222xxxxxxxxxxxxx，所以，1)1sin1ln(cosdxxx发散．（16）因为12sin1212x，所以，2ln2sin1ln012x．因此，21221222ln2sin1ln12sin1ln1xxxxx，而122lndxx收敛，所以０dxxx1222sin1ln1收敛（0x是可去间断点）．3.讨论下列无穷积分的收敛性（包括绝对收敛或条件收敛）：（1）１dxxx2cos；（2）１dxxxcos；（3）1cosdxxxp；（4）0100cosdxxxx；（5）2sinlnlnlnxdxxx．解（1）xxxxxxx22cos2122cos1cos2，由于121dxx发散，而１dxxx22cos收敛（Dirichlet判别法），因此，１dxxx2cos发散.（2）由Dirichlet判别法知１dxxxcos收敛，但由于xxxx2coscos，而由(1)，１dxxx2cos发散，故由比较判别法知1cosdxxx发散，因而１dxxxcos条件收敛.（3）1p时，由于ppxxx1cos对一切),1[x成立，所以1cosdxxxp绝对收敛．10p时，用Dirichlet判别法知１dxxxpcos收敛，但由于ppppxxxxxxx22cos21coscos2，同样用Dirichlet判别法知122cosdxxxp收敛，而121dxxp发散，故由比较判别法知1cosdxxxp发散，所以这时1cosdxxxp条件收敛．0p时,1cosxdx发散.0p时，亦发散(用Cauchy收敛原理即可)．所以，1cosdxxxp当1p时绝对收敛；10p时条件收敛；0p时发散．（4）11100cos100cosdxxxxxdxxxx，由于1cosdxxx收敛，100xx单调递减有界，故由Abel判别法，1100cosdxxxx收敛，从而0100cosdxxxx也收敛，但)100(22cos)100(2100cos100cos2xxxxxxxxxxx，同样0)100(22cosdxxxx收敛，但0)100(2dxxx发散，所以0100cosdxxxx发散．因此，0100cosdxxxx条件收敛．（5）22lnlnlnlnsinsinlnlnlndxxxxxxdxxx，用Dirichlet判别法知2lnsindxxx收敛，而由于)(0lnlnlnxxx，因而xxlnlnln有界，且由于23)(ln2lnln2lnlnlnxxxxx，当2eex小于零，故当2eex时，xxlnlnln单调递减，由Abel判别法，2sinlnlnlnxdxxx收敛．但xxxxxxxxxxxln22cos)ln(lnln2lnlnsinlnlnlnsinlnlnln2，同样用Abel判别法，2ln22coslnlndxxxx收敛，而