反三角函数(反正弦函数)(1)教案

6.4反三角函数（反正弦函数）（1）教案教学目的：1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，x∈[-2，2]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2，2].2．知道反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.教学重点：教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数1,1,arcsinxxy的产生和从本质上处理正弦函数Rxxysin的反函数问题.教学过程：（一）、引入一、（设置情境）1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得xysin在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得xysin存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）xysin在所取区间上存在反函数；（2）能取到xysin的一切函数值1,1可以选取闭区间2,2，使得xysin在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。二、（双基回顾）1.根据下列给出的条件，求对应的角x1)1sin0,22xx，则x=______2)3sin,222xx，则x=______2．下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数？（）(A)(B)(C)(D)（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）函数y=sinx，x∈[-2，2]存在反函数吗？二、概念或定理或公式教学（推导）概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx，x∈[-2，2]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质：①图像②定义域[-1，1]③值域[-2，2]④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线xy对称，函数y=sinx，x∈[-2，2]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线xy对称.三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）判断下列各式是否成立?简述理由.（1）arcsin23=3；（2）arcsin3=23；（3）arcsin1=2kл+2，k∈Z；（4）arcsin（-3）=-arcsin3；（5）sin（arcsin2）=2；（6）arcsin6=21.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2，2]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.四、典型例题（3个，基础的或中等难度）32222xy0例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin（-23）解：（1）因为sin6=21，且6∈[-2，2]，所以arcsin21=6.（2）因为sin0=0，且0∈[-2，2]，所以arcsin0=0.（3）因为sin（-3）=-23，且-3∈[-2，2]，所以arcsin（-23）=-3.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：（1）sinx=32，x∈[-2，2]；（2）sinx=-51，x∈[-2，2]；（3）sinx=-33，x∈[-π，0]解：（1）因为x∈[-2，2]，由定义，可知x=arcsin32；（2）因为x∈[-2，2]，由定义，可知x=arcsin（-51）=-arcsin51；（3）在区间[-2，0]上，由定义，可知x=arcsin（-33）=-arcsin33；在区间[-π，-2]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin33，满足sinx=-33因此x=arcsin33或x=-π+arcsin33.例3．化简下列各式：（1）arcsin（sin7）；（2）arcsin（sin54）；*（3）arcsin（sin20070）解：（1）因为7∈[-2，2]，设sin7=α，所以arcsinα=7，即arcsin（sin7）=7.（2）因为54[-2，2]，而5∈[-2，2]，且sin5=sin54，设sin5=sin54=α，所以arcsin（sin54）=arcsin（sin5）=arcsinα=5.（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270所以arcsin（sin20070）=arcsin（-sin270）=-arcsin(sin270)=-270.例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x，则2y=arcsin2x，因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-2，2]，所以x∈[-21，21]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y，x=21sin2y，将x，y互换，得反函数f-1（x）=21sin2x，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21].五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求下列反三角函数的值：（1）3sin=2arc_________;（2）sin1=arc______;（1）sinsin1arc;（2）2sinsin10arc;六、拓展探究（2个）例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴sin[arcsin（-x）]=-x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x又因为arcsin（-x）∈[-2，2]，-arcsinx∈[-2，2]，且正弦函数在[-2，2]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1][说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x∈[2，23]，sinx=31，用反正弦函数值表示x.解：因为x∈[2，23]，所以（π-x）∈[-2，2]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=31，于是π-x=arcsin31，x=π-arcsin31.[说明]对于用反正弦函数值表示区间[-2，2]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.（三）、小结（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质.（四）、作业（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、求下列反三角函数的值：（1)2sin=2arc_______;（2)sin1=arc_____.(3)4sinsin5arc=___________;(4)sinsin10arc=______________.2、函数)2arcsin(2xxy的单调递减区间是．3、若)arcsin()arcsin(axax有解，则a的取值范围是____________.4、函数2arcsin2xy的值域是__________________.5*、若)(xf是奇函数，且当0x时，)(,0),arccos(sin)(xfxxxf时则当的解析式是)(xf=．6*、函数yxxarcsinarcsin221,当x=_________时,函数取得最小值,最小值是_______当x=__________时,函数取得最大值,最大值是__________.二、选择题1、下列函数中,存在反函数的是()A、y=sinx,(x[0,]B、y=sinx,(x,2)C、y=sinx,(x332,)D、y=sinx,(x2332,)2、若)arcsin(sin,2xx则的值（）A、xB、xC、xD、)(x3、函数)arccos(sin2)(xxf是（）A、偶函数B、既是奇函数又是偶函数C、奇函数D、非奇非偶函数4*、若,32,且sinm,则为（）A、marcsinB、marcsinC、marcsin-D、)arcsin(m三、解答题1、求满足arcsin(1-a)+arcsin(1－a2)0的a的取值范围.2、求)178arcsin53sin(arcsin的值．3、求函数33arcsin2xy的定义域和值域。4*、函数)23,2(,sin)(xxxf，)(1xf求反函数。四、双基铺垫1、已知1cos2x，试根据下列条件求x：(1)x是区间[,]的角(2)所有的满足条件的x2、求下列各式的值：(1)23arccos(2))23arccos(6.4反三角函数（1）——反正弦函数课外作业答案一、填空题1、（1)4;（2)2(3)5(4)1032、]21,1[3、)0,1[4、[0，π]5*、)arccos(sin)(xxf6*、yxxarcsin,arcsin1222-2arcsin,x1即—－时x=sin(1)=sin1,y有最小值-2,当arcsinx2,即xsin21时,y有最大值241二、选择题1、D2、D3、C4*、C此题(,)32,并不是反正弦函数定义域的取值范围,故(A)错误.sinarcsinmmm020，232arcsin(,)m故(B)错误.arcsinm32满足条件。而02arcsinm,故(D)错误.应选(C)三、解答题1、解:arcsin()arcsin()1102aaarcsin()arcsin()arcsin()arcsin()111111111111122222aaaaaaaaa2、原式＝8577；3、定义域]3,3[；值域]34,32[4*、)0,1(.arcsin1,0,arccos2)(1xxxxxf四、双基铺垫1、已知1cos2x，试根据下列条件求x：(1)x是区间[,]的角(2)所有的满足条件的x2、求下列各式的值：(1)23arccos(2))23arccos(