数学分析简明教程答案(尹小玲-邓东皋)

A第十章数项级数§1级数问题的提出20122012211231.'''0;0,1,2,,.,'23''2nninnnnxyyxyyaaxaxaxainyaaxaxaxyaaxaxnaxy证明：若微分方程有多项式解则必有证明：若微分方程的一个解那么22321232310122211203126(1);''26(1).'''(4)(9)()0nnnnnnnnnnnaaxnnaxxyaxaxnnaxxyaxaxaxaxxyyxyaaaxaaxnaaxax于是可得因此可知122002.00,1,2,,nnnianaanaain那么由多项式相等可知有递推可知有成立。B0102012122.,,,,,(1)''2'(1)0.,(1);(1)nnnnnnnnnnnnnnnaaaaxxyxyllyaxnaxnnaxnnax试确定系数使满足勒让德方程解：将级数两次逐项求导可得把它们代入勒让德方程可得22210120(1)2(1)0,20.(2)(1)(1),2,3,4,(1)(1)()12!nnnnnnnnnnnnnnaxnaxllaxannllaannnllyxa整理后可得那么由以上递推公式可得方程的解为243510112010(2)(1)(3)4!(1)(2)(1)(3)(2)(4)3!5!()().,,,llllxxllllllaxxxayxayxaaaa其中为任意常数由112(),()yxyx的任意性可以知道都是勒让德方程的特解,并且容易验证它们是线性无关的。§2数项级数的收敛性及其基本性质111.1111(1)(54)(51)5545111111111lim15661111165451111lim15515nnnnnnnnnnn求下列级数的和：2111111(2)412212111111111lim12335572121111lim1.2212nnnnnnnnnnC1111111(1)112(1)2(1)2(3)limlim1.1232312nnnnnnnnn111112121(4).;211121121112211322,,limlim,1222222222122132nnnnnnnnnnnnnnnnnnSSSSnS设则于是于是11111112(5)sin,1;sin.2cos2cossinsin(1)sin(1)sinsin(1)sinnnnknknknknkknnnnrnxrSrkxrxSrxkxrkxkxSrxrnxrSrnx解：记则212122211sinsin(1)sin,sinsin(1)sin;12cos1,sinsinlim.12cosnnnnnnnnnnrSrxrnxrnxrxrnxrnxSrrxrrxrnxSrrx于是可得由于因此有D11111112(6)cos,1;cos.2cos2coscoscos(1)cos(1)coscos(1)1cosnnnknknknknkknnnnrnxrSrkxrxSrxkxrkxkxSrxrnxrSrnx解：记则212212222211coscos(1)cos,coscos(1)cos;12cos1,coscoslim.12cosnnnnnnnnnnrSrxrnxrnxrrxrnxrnxrSrrxrrxrrnxSrrx于是可得由于因此有111111112.1(1);lim0,212121111(2);,2323(3)cos;limcos10,221(4);(32)(31)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn讨论下列级数的敛散性：故原级数发散。由于级数都收敛故原级数收敛。故原级数发散。收敛。11(5).(1)1nnnnn收敛。1111111113.10.2:,,,.,,.,,lim,lim.,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuvuvuvuvuvUVUVUuVvuvUV证明定理若级数收敛则级数也收敛且证明:设级数的部分和数列分别为由题意可知数列的极限存在可设易知级数的部分和数列为那么由数列极限的性质可知数列111,limlimlim;.nnnnnnnnnnnnnnnnUVUVUVuvuvuv收敛且即E1111120012111114.,,,0,1,2,,0,.0,0,nnnnnnnnkkknnnnnnuUUuuunkkkkkkUUNnN设级数各项是正的把级数的项经过组合而得到的新级数即其中若级数收敛,证明原来的级数也收敛。证明:根据柯西收敛原理,由级数收敛可知:当时11111112121110.:0,0,0nnnnpnpnpnnpkkkkkknNnnnpNpUUuuuuuuuNknNpuuU,对于有那么对于级数有当时,对于有11;NpnnUu那么由柯西收敛原理可知级数收敛。§3正项级数22111.11(1);lim1,,nnnnnnnnn判断下列级数的收敛性：由于由于调和级数发散那么可以知道原级数发散。2121111111(2);,,(21)2(21)222nnnnnnnn由于由于收敛那么可以知道原级数收敛。11(3);lim,21212nnnnnnnn由于那么可以知道原级数发散。11(4)sin;sin,,2222nnnnnn由于而级数收敛那么可以知道原级数收敛。111111(5),1;,,11nnnnnn由于而级数收敛那么可以知道原级数收敛。1111(6);lim,,nnnnnnnnnnn由于而调和级数发散那么可以知道原级数发散。111111(7);,,212122nnnnnnnn由于而级数收敛那么可以知道原级数收敛。1111(8);limlim01,ln1ln1ln1nnnnnnnnn由于那么可以知道原级数收敛。F112(1)2(1)11(9);,,2222nnnnnnnn由于而级数收敛那么可以知道原级数收敛。1122(10)2sin;2sin,,3333nnnnnnnnnn由于而级数收敛那么可以知道原级数收敛。1144(11)3(1)sin;3(1)sin,,5555nnnnnnnnnnnn由于而级数收敛故原级数收敛。1111111111221sin2sin2sin2(1)!(12);limlimlim01,;!sin2(1)sin2!sin211,,!nnnnnnnnnnnnnunnnunnnnn由于故原级数收敛由于而级数收敛故原级数收敛。2111111(13)1cos;lim1cos,,2nnnnnnnn由于而级数发散故原级数发散。111(14)cos;limcos1,nnnn由于故原级数发散。3231121111(15)ln1;limln11,,nnnnnnnnn由于而级数收敛故原级数收敛。32322112ln(1)ln(1)1(16);lim01,,nnnnnnnnn由于而级数收敛故原级数收敛。2220111111sinarcsin1(17)sinarcsin;limsinarcsinlim1,,ntnnttnnnnntn由于而收敛故级数收敛。11(18)arctan;arctan,,2222nnnnnnnnnn由于而级数收敛故原级数收敛。221111111111(19)11;31411nnnnnnnnnnnnnn发散。G222411121(20)11;nnnnn收敛。1112.(1)(1)1(1)!(1);limlimlimlim11,!!nnnnnnnnnnnnnnunnnnennunnn判断下列级数的收敛性：故发散。1lnln1(2);limlim1,222nnnnnnnnnnnnu故原级数收敛。1111(1)!2!222(1)(3);limlimlim1,!2(1)nnnnnnnnnnnnnnnunnnnnunen故收敛。1111(1)!3!333(1)(4);limlimlim1,!3(1)nnnnnnnnnnnnnnnunnnnnunen故发散。1111!!11(5);lim1lim1lim1(1)!(1)11limlimnnnnnnnnnnnnnnnneunennnnnnenunennneen521(17)101111,2pTxxxeex§故发散。221(6);lim01,11nnnnnnnnnnn由于因此原级数收敛。2212121212(7);limlim1,3232323nnnnnnnnnnnn由于因此原级数收敛。11112222221(8);limlim1,3333nnnnnnnnnnnnnnnnnnn由于因此原级数收敛。H3216(2)231231123231(9),(0);(1)(1)(1)(1)000,;(1)(1)(1)(1)10lim1,;(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnpTnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx§解：当时,收敛当时,故收敛当时,3216(2