高三复数复习专题

中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：高三复数专题复习：一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（1）虚数单位i；（2）实部：zRe，虚部：zIm；（3）复数的分类(biaz)Rbaaabb,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数；（4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律；（2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（3）除法：)0(2222dicidcadbcdcbdacdicbia。3、复数的共轭与模：（1）zzRz；z是纯虚数zz，反之不成立；（2）复数biaz与点baZ,是一一对应关系，另：z与z关于x轴对称，z表示z对应点与原点的距离。4、复数共轭运算性质：212121212121,,zzzzzzzzzzzz；5、复数模的运算性质：nnzzzzzzzzzzzz),0(,22121121。6、复数的模与共轭的练习：zzz2。7、重要结论（1）对复数z、1z、2z和自然数m、n，有nmnmzzz，mnnmzz)(，nnnzzzz2121)((2)ii1，12i，ii3，14i；114ni，124ni，iin34，14ni.(3)ii2)1(2，iii11，iii11.(4)设231i，2，2，012，nn33，中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：nnn8.一些几何结论的复数形式.0,,,,)4(.Im21)3(.3sin3cos0.3;.2;.1)2().()1(242314134321121232132123132212322211332213213123,2,1RzzzzzzzzzzzzzzzzSSZZZizzzzzzzzzzzzzzzzzzZZZRzzzzZZZz：四点共圆的充要条件是复平面上表示为的面积为复平面上是等价的）是（有三种形式，它们为正三角形的充要条件复平面上三点共线的充要条件是，，复平面上二、复数的三角形式：1、复数的三角形式概念：;sin,cos,),sin(cos,122rbrabarirzbiaz其中：式：都可以改写成复数的形个复数任何2、复数的三角形式的乘法公式：sincos)sin(cos)sin(cos)sin(cos),sin(cos2121212211irririrzzirzirz则，设复数即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。nnnnnnnirrrririririrzzzz321321321333222111321sincos)sin(cos)sin(cos)sin(cos)sin(cos；有限个复数相乘的情况上述结论，可以推广到3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）)sin(cos)sin(cosninrirnn即：复数的n（n∈N）次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理。4、复数的三角形式的除法公式.sincossincossincos;sincos,sincos2121212211irririrzzirzirz则：设即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：三、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程02cbxax（其中Rcba,,且0a），令acb42，当0时，方程有两个不相等的实数根。当=0时，方程有两个相等的实根；当0时，方程有两个共轭虚根：2,221ibxibx。2、复系数一元二次方程根的情况：对方程abxcbxax2,02的平方根；3、一元二次方程的根与系数的关系：若方程02cbxax（其中Rcba,,且0a）的两个根为21xx、，则acxxabxx2121；四、例题精选例1：已知40323222iziz，求z；例2：已知104232212343iiiz，求z；例3：设z为虚数，zz1为实数，且21。（1）求z的值及z的实部的取值范围；（2）证明：zzu11为纯虚数；中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：：已知关于t的方程)(022Raatt有两个根21tt、，且满足3221tt。（1）求方程的两个根以及实数a的值；（2）当0a时，若对于任意Rx，不等式kmkkaxa22log22对于任意的21,2k恒成立，求实数m的取值范围。例5：已知复数1z满足iazizi2,51)1(21，其中i为虚数单位，Ra，若121zzz，求a的取值范围。例6：设虚数z满足1052zz。（1）求z的值；（2）若zmmz为实数，求实数m的值；（3）若zi21在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：：已知方程02pxx有两个根1x和2x，Rp。（1）若321xx，求实数p；（2）若321xx，求实数p；例8：已知复数),(Rbabiaz是方程0542xx的根，复数)(3Ruiu满足52z，求u的取值范围。例9：关于x的方程0)2(2biaxbiax有实根，求一个根的模是2，求实数ba,的值。例10：设两复数21,zz满足0422402121zazzazx（其中0a且1a，Rx），求21zz是虚数。（1）求证：21zz是定值，求出此定值；（2）当Nx时，求满足条件的虚数21zz的实部的所有项的和。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：：设两个复数21zz、满足Rkzkzzz212221100，并且12zz是虚数，当Nk时，求所以满足条件的虚数12zz的实部之和。例12：计算：（1）6sin6cos312sin12cos2ii（2）55sin5cos3i（3）6sin6cos63sin3cos12ii例13：给定复数z，在z，222,,,,,,zzzzzzzz这八个值中，不同值的个数至多是___________。例14：已知下列命题（1）Rzzz；（2）zzz为纯虚数；（3）21210zzzz；（4）0002121zzzz或；（5）00212221zzzz；（6）2222zzzz.其中正确的命题是____________；例15：是否存在复数z同时满足条件：①6101zz；②z的实部、虚部为整数。若存在，求出复数z，若不存在，说明理由。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：：设1z是已知复数，z为任意复数且1,1zzzz，则复数对应的点的轨迹是()A、以1z的对应点为圆心、1为半径的圆；B、以1z的对应点为圆心，1为半径的圆；C、以121z的对应点为圆心、21为半径的圆；D、以121z的对应点为圆心，21为半径的圆；例17：满足方程1Rezz的复数z对应的点的轨迹是()。A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线例18：复平面内，满足2)1()1(iziz的复数z所对应的点的轨迹是()A、椭圆B、双曲线C、一条线段D、不存在例19：满足方程016152zz的复数z对应的点的轨迹是()A、四个点B、四条直线C、一个圆D、两个圆例20：设复数Raxiaazxx、,)2()2(，当x在,内变化时，求z的最小值ag。例21：若复数1z和2z满足：)0(12aiazz，且2482112zzzz。1z和2z在复平面中对应的点为1Z和2Z，坐标原点为O，且21OZOZ，求21ZOZ面积的最大值，并指出此时a的值。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：：已知复数010,,,,,zmimzxyiabixyabR，i为虚数单位，且对于任意复数z，有0,2zzz。（1）试求m的值，并分别写出a和b用x、y表示的关系式；（2）将,xy作为点P的坐标，,ab作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线1yx上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。例23：已知复数iznimz22,21和yixz，其中yxnm,,,均为实数，且21zizz。（1）若复数1z所对应的点),(nmM在曲线1)3(212xy上运动，求复数z所对应的点),(yxP的轨迹方程；（2）将（1）中点P的轨迹上每一点沿向量)1,23(a方向平移，得到新的轨迹C，求C的方程。（3）轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线ll,交y轴于点B。问：以AB为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。中国领先的中小学教育品牌精锐教育网站：例题答案：1、7；2、1；3、（1）1Re21z；（2）略；5、7,1a；6、（1）5z；（2）5m；（3）iziz21032102103210或；7、（1）225pp或；（2）①当410p时，方程无解；②当0p时，2p；③当41p时，49p；8、6,2u；9、当0b时，3454aa或；当0b时，31,31baba。10、（1）iaaaxx22240，定值220a；（2）1a时，aaa1119；10a时，aa121；11、95；12、略；13、4；14、（1）（4）；15、存在、iz31或iz3；16、D；17、D；18、C；19、C；20、2,2422,222aaaaa；21、8，此时1a，提示：由条件得82212)248(1112)248(112248221,112482222222212121aaaaaaazazzSaaza，当且仅当1a时等号成立。22、（1）yxyyxxm33,3''；（2）23232xy；（3）存在直线xy33，xy3；提示：设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为bkxy，则变换后的直线为byxkyx4343''''，即04)31(3''bykxk。它与bkxy重合，当0b时，方程无解。当0b时，33,3kk；中国领先