第四章-概率统计模型

第四章概率统计模型4.1报童的诀窍（随机分布）4.2机票超售策略（随机模拟）4.3牙膏的销售量（多元线性回归）4.4教学评估（逐步回归）4.5Logistic回归4.6统计聚类确定性因素和随机性因素1.随机因素可以忽略2.随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现3.随机因素影响必须考虑确定性模型随机性模型确定性是理想化的，随机性是现实中必然存在的4.1报童的诀窍假设《新民晚报》平均每天零售500份，报亭每天应该预定多少份？4.1报童的诀窍问题报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的数学期望建模•设每天购进n份(不随机)，日平均收入为G(n)随机因素的主要来源——每天需求量为R，概率P(R=r)=f(r),r=0,1,2…准备01()(())[()()()]()()()nrrnGnESnabrbcnrfrabnfr求n使G(n)最大•已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c,日收入为()()(),()()abRbcnRRnSnabnRnn=E(R)？？？变限积分求导公式()()()()()(,)'()((),)()((),)()(,)byaybyyayFyfxydxFyfbyybyfayyayfxydxnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()])(()[()(dndG求解为简化计算将r视为连续变量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(?22()()0dGcapndn又，所以确实为极大值点。cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rp通常，a-bb-c,R接近正态分布，nE(R)为什么用随机分布模型?需求R是随机的由于收入是需求的非线性函数，日平均收入ES(n)不是简单地由日平均需求E(R)决定R的随机分布对最优决策有影响若收入是需求的线性函数，日平均收入可用日平均需求来表示，就不必用随机模型。01()(())[()()()]()()()nrrnGnESnabrbcnrfrabnfr怎样运用随机分布模型？关键：搞清楚随机性的主要来源是什么？这个主要来源设为一个随机变量(如报童模型中每天的需求量R)这个随机变量的分布是容易得到的；其他随机变量(如收入)可以写成它的函数。来源变量也可以考虑多个，但是如果他们不独立，是很难处理的。算例若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高？83851356.075.075.01212121PPPPcbbaPP，份，查标准正态分布表：，＝5165032.050032.050500852185)5050050500(85)(32.0212xxdtexRPxRPPt问题的推广现实情况：每天的需求并不完全是随机的，如周末或重大事件期间销量会上升，天气不好时销量会下降。解决途径一：利用历史数据；解决途径二：利用时间序列分析方法；解决途径三：利用MonteCarlo数值模拟。MonteCarlo模拟若明天需求量依赖于气温T,R=500+-|T-20|,N(0,50^2),U(5,15),与独立Matlab程序(明天T=5)求得n0=371(近似).a=1;b=0.75;c=0.6;T=5;N=1000;e=normrnd(0,50,1,N);d=unifrnd(5,15,1,N);R=500+e-d*abs(T-20);S0=0;forn=100:800,S=mean(((a-b)*R-(b-c)*(n-R)).*(R=n)+(a-b)*n*(Rn));ifSS0,S0=S;n0=n;end;end;n0,S0习题1.1国际市场上每年对某种商品的需求量为一个随机变量（单位：千吨），根据预测，它服从[2,4]上的均匀分布，并已知每售出1千吨此种商品，可以挣得外汇3千万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每千吨为1千万美元，问应组织多少货源可使平均收益达到最大？天猫补救“超卖”天猫方面承认“双11”当天因流量巨大，导致其系统商品库存数据与商家的前后台数据对接不准，确有少部分订单出现“超卖”。为此，天猫在致歉的同时给出3条补救意见――■商家根据自己的实际情况对消费者进行额外补偿，如店铺优惠券、现有商品5折销售等；■对于未发货的“超卖”订单，支持进行全额退款；■对于所有“超卖”订单，买家都可获得商品价格30%、最多500元的天猫积分。其中，最后一条是天猫首次就“超卖”明确表示赔付。2013阿里巴巴双11成交350亿，9小时超过美国“网络星期一”全天!4.2机票超售(overbook)策略2013-10-21《北京晚报》：三天前，徐先生网上为朋友订购了大新华航空公司于昨天下午3点55分从北京飞往哈尔滨的机票。昨天下午，朋友两点多就来到了机场，却在换登机牌时被工作人员告知，登机牌已经换完，飞机上“满座”，已无空位置。“为什么我买了票却不让我上去？”由于着急赶时间，徐先生的朋友急切地与工作人员交涉，结果被告知，“很多航班都会这样售票，防止有人买票后临时有事退票或改签，导致飞机坐不满人，浪费资源。”9.6机票超售(overbook)策略问题分析：订票的乘客可能不来登机(no-show)；只按容量订票可能会出现很多空位从而损失利润；超额订票可能导致乘客不能登机(deny-boarding,DB)而赔偿；找一个最佳订票数量模型假设飞机容量n,机票价格g,固定飞行成本r;订票限额m=n,乘客是否到来随机独立，每个乘客no-show的概率p；no-show数K~B(m,p)每位DB无须付机票费，且赔偿b.基本模型利润期望利润(q=1-p).求m使E(S(m))最大()()mKgrmKnSngrmKnbmKn1010010(())(())(())(()())(())()()mnmkkkkmnmnmkkkkmnkkESmngrmnkbpmkgrpngrmnkbmkgrpmkgrpqmgrgbmnkp订票数m,容量n,no-show人数K~B(m,p)到来(on-show)人数m-K001,mmkkkkpkpmp模型求解方法一：数值模拟(实际计算适用)对m=n,n+1,n+2,….,计算E(S(m)),求得最优m注意到最优解与r无关Matlab程序n=300;p=0.05;q=1-p;g=1000;b=200;m=n+1;fork=0:(m-n-1)P(k+1)=nchoosek(m,k)*p^k*q^(m-k);endES=q*m*g-(g+b)*(m-n-(0:(m-n-1)))*P'模型求解ES0=ES-1;whileESES0m=m+1;ES0=ES;fork=0:(m-n-1)P(k+1)=nchoosek(m,k)*p^k*q^(m-k);endES=q*m*g-(g+b)*(m-n-(0:(m-n-1)))*P';endm,ES0%计算结果m=321(但计算有溢出警告)模型求解方法二：模型近似化简(理论上比较漂亮)当m很大，K~B(m,p)近似N(mp,mpq)q=1-p.22(())()()()()()exp()22()exp()22mnmnmqnmpqESmqmgrgbmnxpxdxmnxxmpqmgrgbdxmpqmpqmqntmpqtqmgrgbdt模型求解令dE(S)/dm=0得1()()()()021()()02,()()(0,1)zzzpqqggbqtdtgbttdtmqgpqqzttdtgbmmqnzztNmpq这里和为分布和密度模型求解由于(-t)=(t)，所以可以证明zR第3项n=300,p=0.05,b/g=0.2,计算得m=31900()()0.4zttdtttdt1()02zpqttdtm()gzgb思考：还可以对第3项做更精细的估计，从而得到更高精度结果。0,()0zzzttdt时模型求解方法三：MonteCarlo模拟（不求数学期望，从最原始的随机数开始模拟，忽略r）clear;n=300;p=0.05;g=1000;b=200;fori=0:50;m=n+i;K=binornd(m,p,1,10000);ES(i+1)=mean(g*(m-K).*(m-K=n)+(n*g-b*(m-K-n)).*(m-Kn));end[maxES,id]=max(ES)m=n+id%计算结果m=321考虑不同客源的模型第一类顾客(noshow概率大)：后付费，高票价。第二类顾客：先付费，低票价。设打折，打折票t张，第二类顾客noshow概率=0.noshowK~B(m-t,p)数学分析及求解()()()mKgrKmnSngrmKnbKgttgtmnt参考文献李冰州,能力随机的海运集装箱收益管理超订模型,西南交通大学学报2006/41/4夏剑锋基于二项式分布的航空机票超售模,中国民航学院学报,2006/24/1衡红军,航班座位超售量的确定.计算机工程2005/31/7鞠彦兵,航空客运超售风险研究北京航空航天大学学报2002/28/5习题2.1英国的青年旅社联盟(YouthHostelAssociation)采用网上订票，房客订票时须付10%不退还的房费，余额90%入住时才付(当然不住的房客就不用付这90%)。剑桥有一家YHA连锁，500个床位，每个床位每天均价为20英镑。每个订票的房客有30%的可能性不会来住。如果YHA只按照500个床位订出，常常会因床位空置而造成损失，所以YHA会采取超售策略。当到来的房客超出其容纳能力时，YHA就到附近宾馆安排房客入住，宾馆的价格是旅社的3倍。由于房客只要付旅社的房价就住上宾馆，他们当然不会有什么怨言。试研究这一问题以帮助YHA确定其超售额度。趣味思考题假设今天是你的生日，有个富豪为了帮你庆祝生日，决定送你一副他收藏的油画。你呢，对油画这种东西一无所知，但是呢，每一幅油画上面都有一个标签，写着这幅油画的价格。富豪一共有100幅油画，他从100幅油画中间每次随机抽取一幅画，（你可以看到油画上的标签标注的价格）你可以选择要或者是不要，但是如果你不要了之后就不能反悔，也就是不能再回头要这幅画了。问题来了，你要怎么样的策略才能提高你拿到最高价格的油画的概率？可以的话，根据你的方案计算出概率。回归模型是测试分析方法建立的最常用的一类模型数学建模的基本方法机理分析测试分析通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型•通过实例讨论如何选择不同类型的模型•对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。4.3牙膏的销售量问题收集了30个销售周期本公司牙