常微分方程A考试标准答案

安徽大学2011—2012学年第一学期《常微分方程》（A卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共20分）（1）(a)；（2）(d)；（3）(d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确…………………………2分事实上，,fxy在上满足局部-条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一.……5分（2）正确…………………………2分事实上，作变换1xxydt，则原方程可化为111120xatxdyydtx…………………………4分然后用常数变易法知可解……………5分（3）错误…………………………2分事实上，二阶线性方程12xatxatxft与一类特殊的线性微分方程组21010,,xAxftAftatatft矛盾.…………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为2222sin1xyxxyx，令2uxy，则2uyx，………………5分可得22sin1xuux，求解得2csccot1uuCx，………………7分由初始条件222y知，22C。……………………10分（2）解：方程320dydyxydxdx可写为32,dyypxppdx两边关于求导数，得到2320pxdppdx当0p时，计算11,2,,MNpxMNpxMp因此pp……5分上式两边乘以并积分之，得到4234pxpc…………………………7分得到方程的通解为22334,0212cxpppcypp……………9分当0p时，由方程可以直接得到0y也是方程的解.……………10分（3）解：作极坐标cos,sinxryr……………2分22222222000412222ttxytrrfxydxdydrfdrrfdr……………5分将原式两边关于求导数，得2488tfttftte……………7分其通解为2244tfttce……………9分由初始条件01f求得特解为22441tftte……………10分（4）解：对应的齐次线性微分方程为90yy其通解为12sin3cos3ycxcx当02x时，求得9sinyyx有一特解为11sin8yx，于是其有121sin3cos3sin8ycxcxx由初始条件00,00yy代入，有特解为11sin3sin248yxx。……………5分当2x时，求得的特解为219y，于是有341sin3cos39ycxcx，由条件在2x时连续可微，故满足,2222yyyy，因此有341,018cc。于是有特解为11sin3sin0248211sin31892xxxyxx……………10分（5）解：计算det0EA，得到121,5……………2分当11时，计算0EAu，得到1,0u；当5时，计算50EAu，得到2,02u……………5分则基解矩阵为512ttteueu……………7分利用公式11000ttttsfsds，计算得5531220453111025tttttteeeteee……………10分四、应用题（10分）（1）解：设时刻雨滴的体积为()Vt，表面积为()St，半径为Rt，由题意知()()dVtkStdt……………5分而324(),()43VtRStR，将其带入上式有,即dRkdt,积分之有RktC由于0(0)RR，则304()3VtktR……………10分五、综合题（第1小题3分，第2小题2分，共5分）解：（1）对方程两边求导数，有1fxfx，对原方程，设1ux，即有1fufu，因此有0fxfx……………3分（2）这是二阶常系数齐线性微分方程，通解为12cossinfxcxcx。而原方程为一阶方程，代入原方程可得解为11sin1cossincos1fxcxx……………2分安徽大学2011—2012学年第一学期《常微分方程》（B卷）考试试题参考答案及评分标准二、选择题（每小题5分，共20分）1．(d)；2.(c)；3.(b)；4.(c)二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确…………………………2分事实上，2,,2ffxyxyyy在0,0点附近连续，则由解的存在唯一性知结论成立…………………………5分（2）正确…………………………2分事实上，直接用积分因子21x代人MNdyxdxN…………………………5分（3）错误…………………………2分事实上，反证，假设结论成立.不妨设它为一个线性微分方程组的解矩阵，计算1det000t，而1,00t线性无关，矛盾.…………………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：依据定义域知0y，设lnuy，原方程等价的微分方程为xduuedx，其对应的齐线性微分方程为duudx其通解为1dxxucece…………………………5分设原方程有如下形式特解xycxe…………………………7分代入原方程有1cx，即通解为lnxyxce……10分（2）解：令Ffgh，则有26(1),(0)1FFF……5分其特解为tan(6)4Ft…………………………7分整理得1(2),01ffFfF……………9分有特解16132sin624cos64tft……………10分（3）解：由积分与路径无关的条件MNyx，得到2fxfxx……………5分解得212cossin2fxcxcxx……………8分由初始条件求得特解为22cossin2fxxxx……………10分（4）解：(a)直接代入验证……………3分(b)求20Ly另一线性无关解1221xdxxxxyeedxxe易有基本解组12,xyeyx……………5分利用常数变易法，设原方程有解12xycxecxx，则12,cxcx满足12011xxcxexcxxe……………7分解得12,1xcxxecx……………8分所以通解为2121xycecxxx……………10分（5）解：11111001010100AAB，11,AB可交换，所以1111expexpexpexp01tttAtAtBteEBte……………5分利用公式0exp0expttAtAtsfsds，计算得12ttttteeete……………10分四、应用题（10分）解：设时刻细菌数的表达式为xt，则由题意知，dxkxdt，这是齐次线性微分方程，其通解为ktxce由初始条件00xx得，特解有0ktxxe……………5分依条件022,3100xxx，代入，得0ln22100ln2kx，于是ln22100ln2txe。……………10分五、综合题（第1小题3分，第2小题2分，共5分）解：（1）对方程两边求导数，有1fxfx，对原方程，设1ux，即有1fufu，因此有0fxfx……………3分（2）这是二阶常系数齐线性微分方程，通解为12cossinfxcxcx。而原方程为一阶方程，代入原方程可得解为1cossinfxcxx………2分