1.2.1任意角三角函数(公开课)

1.2.1任意角的三角函数2015.3.27摩天轮的半径为10m,中心O距离地面20m,现在小明坐上了摩天轮,并从点P开始以每秒弧度的速度逆时针转动.(1)当转动30秒后,小明离地面的高度是多少？(2)设转动α弧度后，小明离地面的高度是h,当α从0到变化时，试写出h与α的关系.(3)当α推广到任意角后,思考上述关系还能适用吗？P18025m20+10sinhO2在初中阶段,我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下：cba①正弦函数：②余弦函数:(邻边比斜边)cosaBc③正切函数：(对边比邻边)tanbBaBAC┏(对边比斜边)sinbBc为了研究任意角的三角函数,我们先在平面上建立一个直角坐标系oxy,将任意角α的顶点放在坐标原点,始边放在x轴的非负半轴上,设OP为它的终边,如右图：一、任意角三角函数的定义xyoPM则22.rabsin;bMPOPrcos;OMaOPrtan.bMPOPaxyoPM在角α的终边上任取一点P(a,b),这点到原点的距离为r.【探究1】比值是否因为P(a,b)点在终边上的位置发生变化而变化？,,babrra结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置变化而改变.xyoPM1P1M【探究1】比值是否因为P(a,b)点在终边上的位置发生变化而变化？,,babrrasinMPOPtanMPOPMAPoyx1r当时,;bcosOMOP;a.ba即当点P(x,y)满足x2+y2=1时,正弦函数值,余弦函数值,正切函数值会有什么样的结果？设α是一个任意角,它的终边与单位圆(在直角坐标系中,称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆)交于点P(x,y).sin;MPyOPcos;OMxOPtan.yMPOPxMAPoyx当角α是其它象限角时,它的三角函数的定义也是一样．设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y).MAPoyxy叫α的正弦：;siny;cosxx叫α的余弦：tan.yx叫α的正切：yx我们把正弦、余弦,正切,都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上三种函数统称三角函数．(定义域、值域？)解:在直角坐标系中,作31(,).22B35sin;3251cos;325tan3.3BAoyx例1.求的正弦、余弦和正切值.535,3AOB易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为┓【1】利用三角函数的定义求的三个三角函数值.(课本P15T1)76BAoyx┓解:在直角坐标系中,作31(,).22B71sin;6237cos;6237tan.637,6AOB易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为【探究2】如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P(x,y)在终边上的位置无关，仅与角α的大小有关.点P到原点O的距离22rxy1sin1y22yxy;yroyx111(,)Pxy1M(,)PxyM1cos1x22xxy;xr11tanyx.yx例2.已知角α终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.解:∵x＝-3,y＝-4,22(3)(4)5.r44sin;55yr　33cos;55xr44tan.33yxOyx0P【2】已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin_____;cos_____;tan_____.5131213512【3】已知角θ的终边上有一点P(-4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是()22A.B.5522C.D.55或不确定C225|5|raasin,cos,tan.yxyrrx4.(1).取何值时，有意义？(2).求函数的定义域。sintanyxxsincostanxxxx二、三角函数在各个象限的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦sinyrcosxrtanyxxyoxyoxyo【4】若sinθ·cosθ＞0,则θ是第_______象限的角.一、三【5】sin2·cos3·tan4的值().A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定B一全正、二正弦、三正切、四余弦如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.360020到或到？例4确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：250cos)672tan(4sin（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（2）因为=，而是第一象限角，所以；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48（3）因为是第四象限角，所以.404sin例5求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（1）224cos)24cos(49cos练习求下列三角函数值319tan)431tan(31336tan6tan)26tan()611tan(（2）7.已知且试判断的符号。coscostan0sin(cos)cos(sin)任意角的三角函数知识结构三角函数的定义三角函数的符号定义域和值域诱导(周角)公式一