双曲线复习课件

第6讲双曲线121.(2014·全国Ⅰ)已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1D3解析：由题意得e＝a2＋3a＝2，所以a2＋3＝2a，所以a2＋3＝4a2，所以a2＝1，所以a＝1.42.(2015·广东惠州模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为()A．±2B．±2C．±12D．±22B5解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，所以e＝ca＝1＋ba2＝3，解得ba＝2.所以其渐近线的斜率为±2.63.已知双曲线x225－y216＝1的右支上一点P到其右焦点的距离是8，则点P到左焦点的距离是()A．18B．3C．18或3D．13或3A7解析：由已知及双曲线的定义可知|PF左|－|PF右|＝10，则|PF左|＝10＋8＝18，故选A.84.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1A9解析：设双曲线C：x2a2－y2b2的半焦距为c，则2c＝10，c＝5.又因为C的渐近线为y＝±bax，点P(2,1)在C的渐近线上，所以1＝ba·2，即a＝2b.又c2＝a2＋b2，所以a＝25，b＝5，所以C的方程为x220－y25＝1.105.过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为.11解析：依题意设待求的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入得λ＝222－(－2)2＝－2，从而得所求双曲线方程为x22－y2＝－2，即y22－x24＝1.1213一双曲线的定义及应用【例1】(1)动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线(2)若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14【解答过程】(1)|PM|－|PN|＝2＝|MN|，点P的轨迹为一条射线，故选D.(2)依题意：“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”可知(k－3)(k＋3)＞0，求得k＞3或k＜－3，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：(1)D(2)A15【温馨提示】双曲线定义的应用有两个方面：(1)判断轨迹方程；(2)解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．16【跟踪训练1】如果方程x2m＋2＋y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，－1)D．(1,2)17解析：由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.18【跟踪训练2】双曲线y2－4x2＝64上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则P到它的另一个焦点的距离等于为.19解析：将双曲线4x2－y2＋64＝0化成标准形式：y264－x216＝1，所以a2＝64，b2＝16.P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1＝1，因为|PF1－PF2|＝2a＝16，所以PF2＝PF1±16＝17或－15(舍去)．20二求双曲线的标准方程【例2】已知三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．21【解答过程】(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，其半焦距c＝6,2a＝|PF1|＋|PF2|＝112＋22＋12＋22＝65，所以a＝35，b2＝a2－c2＝9.所以所求椭圆的标准方程为x245＋y29＝1.22(2)点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，关于直线y＝x的对称点分别为点P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．设所求双曲线的标准方程为y2a21－x2b21＝1(a1＞0，b1＞0)，由题意知，半焦距c1＝6,2a1＝||P′F1′|－|P′F2′||＝|112＋22－12＋22|＝45，a1＝25，b21＝c21－a21＝36－20＝16.所以所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.23【温馨提示】求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．24【跟踪训练3】(2014·北京)设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为.25解析：由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.26【跟踪训练4】(2014·广东梅州一模)已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆x225＋y216＝1的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程是.27解析：椭圆x225＋y216＝1的长轴端点为(±5,0)，焦点为(±3,0)．由题意可得，对双曲线C，焦点(±5,0)，实轴端点为(±3,0)，所以a＝3，c＝5，b＝4，故双曲线C的方程为x29－y216＝1.28三双曲线的几何性质及其应用【例3】已知双曲线C：x24－y2＝1，P为C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．29【思路点拨】(1)先设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P(x1，y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．(2)先设A的坐标为(x，y)，根据两点间的距离公式表示出|PA|2并根据双曲线方程为x24－y2＝1，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．30【解答过程】(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是|x1－2y1|5和|x1＋2y1|5，它们的乘积是|x1－2y1|5·|x1＋2y1|5＝|x21－4y21|5＝45.故点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．31(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x24－1＝54(x－125)2＋45.因为|x|≥2，所以当x＝125时，|PA|2的最小值为45，即|PA|的最小值为255.32【温馨提示】(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)双曲线的形状与e有关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．33【跟踪训练5】(2014·山东)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝034解析：由题意知e1＝c1a，e2＝c2a，所以e1·e2＝c1a·c2a＝c1c2a2＝32.又因为a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2，所以c21＝a2－b2，所以c21c22a4＝a4－b4a4＝1－(ba)4，即1－(ba)4＝34，所以ba＝22.令x2a2－y2b2＝0，解得bx±ay＝0，所以x±2y＝0.35【跟踪训练6】(2014·广东)若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等36解析：因为0＜k＜9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x225－y29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k，焦距为225＋9－k＝234－k，离心率为34－k5.双曲线x225－k－y29＝1的实半轴长为25－k，虚半轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．3738双曲线中的焦点弦问题如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦，圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识，焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的．39【例题展示】设点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为__________．40【审题过程】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率．41【解答过程】因为圆x2＋y2＝a2＋b2的半径r＝a2＋b2＝c，所以F1F2是圆的直径，所以∠F1PF2＝90°，依据双曲线的定义：|PF1|－|PF2|＝2a，又因为在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1＝3，即|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在Rt△F1PF2中，由(3a)2＋a2＝(2c)2，得e＝c2a2＝102.42【题后总结】充分利用题中曲线的定义与性质，可便捷解题．43【学以致用】过双曲线x29－y216＝1的右焦点，且平行于经过第一、三象限的渐近线的直线方程是.44解析：由题可得a2＝9，b2＝16，得c＝5，因此，该双曲线右焦点的坐标为F(5,0)，因为双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y＝±43x，所以双曲线经过第一、三象限的渐近线斜率为k＝43，所以经过双曲线右焦点，且平行于经过第一、三象限的渐近线的直线方程是y＝43(x－5)，化为一般式，得4x－3y－20＝0.45