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第十八章平行四边形（第二课时）2．(5分)如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形1．(5分)在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为()A.3;B．4;C.5;D.6.1．两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．2．两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．3．对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定LBACD4．(5分)下面给出了四边边ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．1∶2∶3∶4;B．2∶2∶3∶3;C．2∶3∶2∶3;D．2∶3∶3∶25．(5分)在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.∠A＝∠C,∠B＝∠D;B.∠A＝∠B＝∠C＝90°C.∠A＋∠B＝180°,∠B＋∠C＝180°;D.∠A＋∠B＝180°,∠C＋∠D＝180°.3．(7分)如图，在四边形ABCD中,AB＝CD,E,F在对角线AC上且DE∥BF,AD∥BC,AE＝CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．CDODCBA7．(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证∠EBF＝∠FDE.证明：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EBFD为平行四边形．∴∠EBF＝∠FDE6．(5分)小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是()A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形FEDCBA18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定10．如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形()A.AE＝CFB．BE＝BFC.∠ADE＝∠CBFD．∠AED＝∠CFB9．已知三条线段的长分别为10cm,14cm和8cm,如果以其中的两条为对角线,另一条为边,那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为()A.1个;B.2个;C.3个;D.4个.8．两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数为()A．4个;B．3个;C．2个;D．1个13．(8分)已知：如图,AB、CD相交于点O,AC∥DB,AO＝BO,E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形.12.一个四边形的四条边长依次是a,b,c,d,且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd,则这个四边形一定是,依据是:证明：∵AC∥DB，∴∠CAB＝∠DBA，AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴CO＝DO，E，F分别为OC，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形AFBE是平行四边形11.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于O点,已知点E，F分别是BD上的点,请你添加一个条件,使得到四边形AFCE是一个平行四边形．添加的条件是OE=OF或DE=BF或DF=BE18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定15．(12分)如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，那么四边形AQRP是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．解：四边形AQRP是平行四边形，解：证四边形ACQM和四边形ACNP为平行四边形，14．(10分)如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，求证：MP＝NQ.可得MQ＝AC＝NP，则MQ－PQ＝NP－PQ，即MP＝NQ先证△CQR≌△CAB≌△RPB，可得AQ＝PR，RQ＝PA16．(10分)如图，▱ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．证明：连接EG，GF，FH，HE。∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，又AE＝CF，∴△AEH≌△CFG，∴HE＝GF，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分同理可得：EG＝FH，∵BG＝DH，∴AH＝CG，18.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的性质与判定的综合应用1．一组对边平行且__相等__的四边形是平行四边形．2．连接三角形两边的__中点__的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线__平行__于三角形的第三边，并且等于第三边的__一半__．第1题图第2题图2．(4分)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是()A．AD＝BC；B．CD＝BF；C．∠A＝∠C；D．∠F＝∠CDE。D一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。．1．(4分)如图，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是____，理由是4．(4分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数为。3．(8分)(2013·镇江)如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.(1)求证：△ABE≌△DCF；(2)试证明：以点A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．45解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中AB＝CD，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△DCF(2)∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠CFD.又∵∠AEB＋∠AEF＝180°，∠CFD＋∠DFE＝180°，∴∠AEF＝∠DFE.∴AE∥DF.∴四边形AFDE为平行四边形18.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的性质与判定的综合应用6．(4分)已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有()A.6种;B.5种;C.4种;D.3种.5．(4分)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件是答案不唯一，如AB＝CD．DCBA第7题图第8题图7。(4分)(2014·泸州)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为()A.30°；B．60°；C．120°；D．150°8．(4分)(2014·湘潭)如图,AB是池塘两端,设计一方法测量AB的距离,取点C,连接AC,BC,再取它们的中点D,E,测得DE＝15米,则AB＝()A.7.5米；B．15米；C.22.5米；D.30米9．(4分)(2014·娄底)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是918.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的性质与判定的综合应用10．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°11．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关12．(2014·遂宁)如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推……若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为____．12n18.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的性质与判定的综合应用13．(10分)(2014·白银)D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形．13题14题证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且DE＝12BC，∵点G，F分别是OB，OC的中点，∴GF∥BC，且GF＝12BC.∴DE綊GF，∴四边形DGFE是平行四边形14．(12分)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN＝12AD.证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵DE＝CF，∴AE＝BF.∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM＝ME，CN＝NE.∴MN是△BCE的中位线，∴MN∥AD，MN＝12AD18.1.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的性质与判定的综合应用15．(14分)(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．证明：(1)∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF＝BCAE＝BA，∴△AFE≌△BCA(HL)，∴AC＝EF(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形专题(二)平行四边形的性质与判定教材母题(教材P50第5题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．规律与方法：平行四边形的性质与判定的综合必须根据题目的条件，充分应用平行四边形的有关性质，合理筛选判定的方法，此题涉及对角线问题，通常采用对角线的有关知识来解决．变式1：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF.求证：DE＝BF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，又∵AE＝CF，∴BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴DE＝BF变式2：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：△AEF≌△DFC.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠D＝∠FAE，又∵AF＝AB，∴DC＝AF，又∵BE＝AD，∴AB＋AE＝AF＋DF，∴AE＝DF，∴△AEF≌△DFC(SAS)专题(二)平行四边形的性质与判定变式3：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)EG＝EF.12,,2,BDADADBCBDOB证明：由EOCBEAC又为的中点，则。2RTAEBGAB在△中，点为中点，.EFOCD又由为△的中点，1,2EFCD∴,ABCDEFEG由则FEDCBAGO1.2BGGEAB则.OBBC得变式4：如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论