单级倒立摆

《自动控制原理》课程设计之二基于状态空间法单级倒立摆的控制系统设计一、单级倒立摆介绍倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，是控制理论的典型研究对象。如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远意义。单级倒立摆系统的原理图，如图1所示。假设已知摆的长度为2l，质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u，相对参考系差生的位移s。若不给小车实施控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是个不稳定的系统。控制的目的是通过控制力u的变化，使小车在水平方向上运动，达到设定的位置，并将倒置摆保持在垂直位置上。已知单级倒立摆的各项数据如下所示：,5.0,1.0,2mlkgmkgMgmgkgmI/8.9,025.02图1单级倒立摆模型二、控制系统设计任务1、查阅文献，建立单级倒立摆的状态空间数学模型。取状态变量Tssx。测试系统的开环特性。2、用Matlab分析系统能控性，能观性及稳定性。3、通过状态反馈配置改变闭环系统极点。闭环极点自行决定。采用极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒位移的上升时间小于2秒角度的超调量小于20度位移的稳态误差小于2%。4、假设系统的状态Tssx均无法测量，为实现上述控制方案建立系统的全维观测器，观测器极点自行决定。采用带有观察器极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒位移的上升时间小于2秒角度的超调量小于20度位移的稳态误差小于2%。5、假设系统的状态Tssx中，只用位移s可以测量，其他状态变量均无法测量，为实现极点配置，建立系统的降维观测器，观测器极点自行决定。采用带有观察器极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒位移的上升时间小于2秒角度的超调量小于20度位移的稳态误差小于2%。三、设计过程已知单级倒立摆的各项数据如下所示：M=2kg,m=0.1kg,l=0.5m,I=0.025kg2m,g=9.8m/g.根据上图：应用Newton方法来建立系统的动力学方程，得出系统的运动方程为：（M+m）..x+b.x+mlFmlsin...cossin)(....2xmlmgllmI(1)微分方程模型：设当摆杆与垂直向上的方向之间的夹角与1（弧度），相比很小，即1时，则可以进行近似处理：.0)(,sin,1cos2dtd为了与控制理论的表达习惯统一，即u表示控制量，因此用u来来表示被控对象的输入力F，线性化后得到的该系统的数学模型的微分方程表达式：umlxbxmMxmlmglmlI.........2)()(（2）传递函数模型对方程组进行拉氏变换，然后经过整理得到一输出力u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数为：sqbmqlsqmglmMsqmlIbssqmlsUssG232422)()()()()(式中)]())([(22mlmlImMq若取小车的位移为输出量，可得传递函数为：sqbmqlsqmglmMsqmlIbsqmglsqmlsUsXsG232422)()(1)()()(（3）状态空间数学模型uxY0000100001写出单级倒立摆状态空间模型建立详细过程：分析小车水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：水平方向：摆对小车的力为N，由牛顿方程得NusM)sin(22lsdtdmN即sincos2mlmlsmN则2()cossinuMmsmlml（1）垂直方向：cos22ldtdmmgP即cossin2mlmlmgP；根据力矩平衡方程：sincosPlNlI将P、N代入，得到....2()sincosImlmglmls（2）由于摆杆在平衡位置附近做微小振动，摆动角度很小，近似可取sin，cos1，2.0，则由（1）、（2）式得2()()MmsmluImlmglmls取状态变量Txss，系统状态方程为：ss22222()()()mglImlsuImMMmlIMmMml22()()()mglMmmluIMmMmlIMmMml状态空间表达式为：222222201000000()()00010()000()()ssmglImlssIMmMmlIMmMmlumglMmmlIMmMmlIMmMmlusssy0001000001将已知的,5.0,1.0,2mlkgmkgMgmgkgmI/8.9,025.02代入，得到01000000.239000.4878000100010.039000.4878ssssuusssy0001000001即：0100000.2390000010010.03900A，00.487800.4878B，10000010C，00D测试系统的开环特性：A=[0100;00-0.2390;0001;0010.0390]B=[0;0.4878;0;-0.4878]C=[1000;0010]D=[0;0]在matlab中键入以上命令，得到建立的状态空间表达式和传递函数，然后使用Step(A,B,C,D)进行稳定性分析，运行以后得出角度和位移的开环曲线如下：两条曲线都发散，由开环特性可知：所以开环系统不稳定。2、用Matlab分析系统能控性，能观性及稳定性。能控性矩阵M:23MBABABAB在Matlab中输入命令ctrb即可得到能控性矩阵：M=ctrb(A,B)M=00.487800.11660.487800.116600-0.48780-4.8970-0.48780-4.89700对M求秩rank(M),得到：rank(M)ans=4能控性矩阵M满秩，所以系统能控。能观性：能观性矩阵N:23CCANCACA在Matlab中输入命令obsv即可得到能观性矩阵：N=obsv(A,C)N=1.0000000001.0000001.0000000001.000000-0.239000010.03900000-0.239000010.0390rank(N)ans=4能观性矩阵N满秩，所以系统能观。因此，系统是可控，且是可观的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。)1684.3)(1684.3(039.10)(224*SSSSSASIsf其特征根为：1684.31684.3,0432,1SSS，由于系统在平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。而此系统不满足该条件，故系统不稳定。3、推导极点配置过程，给出反馈矩阵K通过状态反馈配置改变闭环系统点。闭环极点自行决定。采用极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒位移的上升时间小于1秒角度的超调量小于20度位移的稳态误差小于2%。根据性能指标要求，有调节时间swtns54.4（1）上升时间swtnr21arccos2（2）超调量%5%100%21e(3)由（1）得88.0n，在欠阻尼响应曲线中阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，一般为宜8.0~4.0，此时超调量适度，调节时间较短。n越大，响应时间越快，取0.7,2n。将其代入上述各式进行验算，得%6.4%,6427.1,1429.3rstt满足系统要求。由,n可得到主导极点：4282.14.1122,1jjsnn为了使副极点远离主导极点，远离虚轴，从而忽略副极点的影响，选取其为主导极点的十倍左右，取js01.0144,3，即极点矩阵：jjjp01.01401.014j1.42824.1-4282.14.1