输出反馈

研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别H是p×q的常值矩阵，v为p维输入向量。通常称（5-2）式为静态输出反馈控制律。联合（5-1）式和（5-2）式，可以得到闭环系统的动态方程为若给定线性时不变系统方程为CxyBuAxx（5-1）其中各符号意义同前。如果我们取u=Hy+v（5-2)静态输出反馈的性质一、静态输出反馈和极点配置BCAKx闭环系统的示意图如图x=（A+BHC）x+Bvy=Cx（5-3）例5-1二维系统动态方程为u10x0010xxy01取u=Hy+v，这样可以得到闭环系统的特征多项式为s2-H，无论H取何值，闭环系统的极点只能在复平面的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改变这个系统的极点。（5-2）式的输出反馈控制律中的H阵与闭环极点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理论至今尚未解决的问题。首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入多输出系统动态方程为u=Hy+v(5-12)联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为CxybuAxx（5-11）bvxbHCAx)(（5-13）用静态输出反馈配置极点△0(s)=△c(s)=012n2n1n1nnasasasas012n2n1n1nnasasasas设A和A+bHC特征方程式分别为△o(s)和△c(s)，若（A、b）可控，可用一等价变换化为可控标准形，变换矩阵为P1n101aaa1110PAPA100Pbb1CPC这时闭环系统矩阵为1101101011010010110nnaaaCHaaa)1,0(1nicHaaiiiic表示的第i列若给定了所要求的闭环极点，就确定了。极点配置问题就要选取H，使得下式成立ia11112001nnTTnTTTTaaHcaaHcaaHc(5-14)TTHC或(5-15)(5-15）是一个q个未知量，n个方程的方程组，而是任意的n维向量，它由所期望的极点所决定。方程（5-15）对任意的有解，显然要求是n×n可逆方阵。C若所期望的极点给得使那n-q个等式极点可以成立，即表示这组用输出反馈所达到，否则就不能。一般来说当qn时，对于任意，（5-15）无解。对于给定的，方程（5-15）有解的条件是它们相容，亦即当C的秩为q时，q个方程的唯一解应满足剩下的n-q个方程。这时，这n-q个等式给出了加在上的约束，这意味着中仅有q个系数可以任意选取。110,naaa110,naaa定理5—5设单输入系统（5-11）可控，rankC=q,总存在常值向量H，使得q个特征值任意接近于预先给定的q个值，这个值中如有复数，应是共轭成对出现。证明设预先给定个值为，并设它们彼此不同，根据前面的推导，可得闭环系统的特征方程为q,,,210)()()(102121211cHascHascHascHasnnnnnnn),,2,1(qii代入上式可得将120111cHcHcHaaaininininniqiihihcH,2,1)(0即其中iiTniiih为并记)(,)1(0121)hhh(CSq21是非奇异阵，即有若121)(SHqi,0Sdet可对ii进行一些小的扰动，即用代替0,iiC使得扰动后的S非奇异，由于的秩为q，这总是可以做到的。式（5-17）给出了H的一个明显表达式，并且是给定的的函数，如果所给的能使S非奇异，则可精确地使闭环iiHq,,,21i全维状态观测器及其设计状态观测器状态估计器状态重构原系统状态估计状态全维状态观测器．nRxnxRbI/SCA观测器k-.xxuy^x要求：)()(lim^txtxtv原系统带观测器的闭环系统1.状态观测器的构成：原系统：模拟系统：由于：cxyBuAxx.^^^.^xcyBuxAx)()(0^0txtx^0xx(1)2.全维观测器的设计：^^^^.^)(xcyyyHBuxAxHyBuxHcAxxHcBuxAx^^^.^)()(HcA----观测器的系统阵qnRH----观测器的输出反馈阵(2)LLLLLL观测器存在的条件：(2)-(1)可得：令其解为：)()(0^0txtx0)(^limxxx))((^..^xxHcAxx)]()([0^))((^0txtxexxttHcA^~xxx~.~)(xHcAxLLL当输出反馈起作用，可选择Ｈ，使当输出反馈不起作用．Ｈ的选择：要求：观测器的响应速度大于状态反馈系统的响应速度．)()(0^0txtx)()(^txtx)()(0^0txtx)()(^txtxˆxx()()()aIAHCaLLL^xＢ1/SＣＡu-++Ｂ1/SＣＡ+HKv.^x-^y状态反馈部分观测器部分.xxy-L定理：若系统(A,B,C)完全能观，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：HyBuxHcAxxHcBuxAx^^^.^)()(Ｈ—适当选取．LLLL例：设计观测器，使观测器的极点为：解：1)uxx101012.xy0132,112010CACST20TSrank原系统能观观测器的极点可任意配置。2)又3)设4)令96)3()(22*a10hhH11210hhHCA)2()3(112)()(100210hhhhhHCAIa)()(*aaLLL5)。4310hhHyuxHyBuxHCAx43101415)(^^.^LLL3.分离定理：原系统引入状态反馈：全维观测器：cxyBuAxx.^xkvucxyBvxBkAxx,^.BvHcxxHcBkAyyHBuxAx^^^.^)()(^^xcy(1)(2)LLLL2n阶复合系统：vBBxxHCBkAHCBkAxx^.^.^0xxCyLL由(1)-(2):与u，v无关。不可控用直观引入如下变换：)]()([0^0))((^0txtxexxttHcA^~xxx~^xxxxpx^0xxx^xxxxˆ()()xxAHcxxLLnnnIIIp01AppA101BBpBnnnIIIp001ccpcxcyvBxAx.vBBxxxHCABkBkAxxx^.^..0^0xxxcyLBBkAsIcBHcAsIBkBkAsIcsGsGnnn11)]([0)(0)(0)()(cxyBvxBkAkxvBAxx,)()(.状态反馈子系统L0)()()(0)(HcAIBkAIHcAIBkBkAInnnnK和H相互独立设计LLL分离定理：若系统能控能观，用形成状态反馈后，K和L的设计可以分别独立进行。),,(CBA^x