线性相关与线性无关

§2线性相关与线性无关向量向量组与矩阵线性相关性的概念线性相关性的定理小结思考若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如维列向量个有矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan一、向量、向量组与矩阵n维列向量组可以排成一个m×n分块矩阵n21,nA,,21维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tmn维行向量组可以排列成一个m×n分块矩阵TmTT21,TmTTA21反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个nmnmm,,,,21矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mA0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意.0,0,,,,1.2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn.,2.线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义３则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A二、线性相关性的概念.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量.,.5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向6当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使7当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵s21,'21,skkk使0,,,2121sskkk例1判断向量组的线性相关性。解假设存在一组常数k1,k2,…,kn使得所以即k1=k2=…=kn=0因此线性无关。的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(2321解：332211kkkO设042321kkk032321kkk0321kkk系数行列式为11113242114128230方程组有非零解，即有非零的数使321,,kkk332211kkkO线性相关。321,,故.,,,,,,,,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组bbbbbb例30,,332211321bxbxbxxxx使设有,0)()(133322211xxx）（即,0)()()332221131xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因321.0,0,0322131xxxxxx证02110011101列式由于此方程组的系数行.,,0321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解bbbxxx也可用矩阵形式表示：这个线性组合的组合系数若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121.2211有解即线性方程组bxxxmm的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA三、相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理各向量线性表示。余至少有一个向量可由其其中线性相关的充要条件是，，，：向量组定理1)2(121mmm证：使，，，在一组不全为零的数线性相关，则一定存，，，若向量组,)2(2121mmkkkmmmkkk22110，于是有：不妨设01kmmkkkk12121不妨设mmkk221mmkk221O线性相关。，，，即向量组)2(21mm例如，向量组是线性相关的，因为对于只有两个向量，的向量组，由定理可得，，线性相关的充分必要条件是，的对应分量成比例。个向量线性表示。由其余组中的任何向量都不能的充要条件是这个向量线性无关向量组定理12,,,2.1'21mmm。线性表示且表示式惟一，，，可由线性相关，则，，，，线性无关，而向量组，，，：设向量组定理mmm2121212证：使，，，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，，，向量组,,,2121mmkkkkmmkkkk22110，否则，有这里必有0kmmkkk22110线性无关知：，，，由向量组m21021mkkk线性表示。，，，可由故m21mmkkk2211设mmlll2211mmmlklklk)()()(222111O线性无关知：，，，由向量组m21.,,2,1,milkii所以表示式惟一。下证唯一向量组的等价复习：线性表示，向量，，何一组数，对任维向量组给定定义mmkkkAn,,,,:2121mmkkk2211.,21数称为这个线性组合的系，，线性表示，的一个线性组合或一个称为向量组mkkkA，使，，存在一组数如果和向量维向量组给定mmbAn,,,,,:2121mmb2211线性表示。向量组能的线性组合或称向量是向量组则称向量AbAb向量组的等价定义:设有两个n维向量组s21r21,,,:)(,,,:)(III若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK矩阵：为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若BACBACnssmnmsnssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),,,),,,（（TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，ABC,。使矩阵系数的向量组表示，故存在向量组能用矩阵KABKA.00)(KAxKBx因此同解。与故是方程组的解也是方程组则同理可知的解是方程组如反之的解是方程组这说明00.0,0,.0BxAxAxxBxxBxx的行因矩阵的一个解是方程组设证明BAxx,0则两个方程组同解。向量组等价的行若两个齐次方程组,0,0BxAx定理12312311232133231132123123,()(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)()(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),,,;,,.AB例如对于向量组显然有所以这两个向量组等价命题1121212():,,,):,,,;()():,,,,()()stpABBCAC设向量组可由向量组(线性表出而向量组可由向量组线性表出则向量组可由向量组线性表示.命题2向量组间的等价，具有下列性质：121212121212121212121),,,,,,,,,,,,,.3),,,,,,,,,,,,,,,,,,sttssttpsp自反性:任一向量组和它自身等价;2)对称性:若向量组与向量组等价则向量组与向量组等价传递性:若向量组与向量组等价,向量组与向量组等价,则向量组与向量组等价.向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结.,)3(0)2(0)1(:两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明kk思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性.,,0,0,,,,即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关xykxyxyxyx必要性.,,0)(1,线性相关知由定义则有不妨设kk思考题解答