高二数学-讲义：圆锥曲线与方程

讲义：圆锥曲线与方程内容讲解：一、椭圆与方程1、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率22101cbeeaa3、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）准线方程：cax2②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）准线方程：cay2设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd．4、弦长公式若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（则弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk典型题型：例1、已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．练习：已知方程22111xykk表示椭圆，则k的取值范围是()A-1k1Bk0Ck≥0Dk1或k-1例2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．例3、椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________例4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______例5、已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．练习：已知直线l:y=2x+m，椭圆C：22142xy，试问当m为何值时：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.例6、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．练习：已知斜率为1的直线l经过椭圆2214xy的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.练习：已知椭圆C：2214xy，直线l:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA⊥OB例7、椭圆2212516xy两焦点为F1、F2，A(3，1)，点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为_____二、双曲线与方程1、双曲线的定义16、第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．当1212||||||2||PFPFaFF时,P的轨迹为双曲线;当1212||||||2||PFPFaFF时,P的轨迹不存在;当21212||FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的两条射线（2）双曲线的第二定义平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1e)的点的轨迹为双曲线.设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd．2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线222ayx的渐近线方程为xy，离心率为2e.；4、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．与双曲线12222byax共轭的双曲线为22221yxba典型例题：例121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）xmymmAmBmm..2121或CmmDmR..21且练习：若方程13322kykx表示双曲线，求k的取值范围.例2、已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；例3、（1）下列曲线中离心率为62的是（）Ａ.22124xyＢ.22142xyＣ.22146xyＤ.221410xy（2）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）A．32B．2C．52D．3（3）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21例4、已知双曲线方程xy22421（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；（2）是否存在直线l，使点N112，为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。三、抛物线与方程知识要点：1、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0x0x0y0y3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．4、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypxp上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220xpyp上，焦点为F，则02pFy；典型例题：例1、点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．例2、若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值练习：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240xy上例3、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为练习：已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点,M是抛物线上的动点,当MFMA最小时,M点坐标是（）A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3(例4、设A、B为抛物线pxy22上的点,且90AOB(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.课后作业1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、若ABC的两个顶点4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是3、椭圆1422myx的离心率为21，则m4、求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。5、已知直线l：y=2x+m与椭圆C：22154xy交于A、B两点(1)求m的取值范围；(2)若|AB|=5156，求m的值.6、过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是7.已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为（）（A）53(B)43(C)54(D)328.已知焦点12(5,0),(5,0)FF，双曲线上的一点P到12,FF的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为______________________9.已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为_______________________10.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点12,PP坐标分别为9(3,42),(,5)4，求双曲线的标准方程.11、(1)已知抛物线的标准方程是x2＝4y，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．12、已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，求p的值为______．13、焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为()A．x2＝16y或y2＝16xB．y2＝16x或x2＝12yC．y2＝16x或x2＝－12yD．x2＝16y或y2＝－12x14、抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1617B.1615C.87D.0