等差数列前n项和的性质

高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一第二章数列2.3等差数列前n项和的性质高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一1.等差数列的递推公式是什么？an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－an－1＝d（n≥2）【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？在结构上是关于n的一次函数.an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？，1()2nnnaaS+=2)1(1dnnnaSn4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考1：若数列{an}的前n和那么数列{an}是等差数列吗？，1()2nnnaaS+={an}是等差数列【知识探究】『知识探究（一）——等差数列与前n项和的关系』2)(1nnaanS　　　高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.ndandSn)2(212高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn（2）数列{an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考4：若{an}为等差数列，那么是什么数列？{}nSn数列{an}是等差数列为等差数列{}nSn即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，……是等差数列吗？性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差数列高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考3：在等差数列{an}中，设S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇与等于什么？SS偶奇S偶－S奇＝nd1=nnSaSa偶奇思考2：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？S3n＝3(S2n－Sn)高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等于什么？思考5：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？2121nnnnaSbT当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.nnab高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一【题型分类深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的简单应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13B.12C.11D.10（2）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，则Tn________.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一『变式探究』1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列{an}前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，则an＝.3.等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一4.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2605.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，，则S2011的值为()A.0B.2011C.－2011D.－2011×201120092007220092007SS高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一题型2：等差数列最值问题例2：等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？[解析]解法1：设等差数列{an}的公差为d，则由题意得9a1＋12×9×8·d＝12a1＋12×12×11·d，∴a1＝－10d，∵a10，∴d0，∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2n－2122－4418d.∵d0，∴Sn有最小值．又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一解法3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a10，∴前10项或前11项和最小．解法2：同解法1，由S9＝S12得a1＝－10d代入an＝a1＋n－1d≤0an＋1＝a1＋nd≥0得，－10d＋n－1d≤0－10d＋nd≥0∵a10，∴d0，解得10＜n≤11.∴n取10或11时，Sn取最小值．高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法：方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质方法2：讨论数列{an}的通项，找出正负临界项。（1）若a10，d0，则Sn有大值，且Sn最大时的n满足an≥0且an+10;（2）若a10，d0，则Sn有小值，且Sn最小时的n满足an≤0且an+10;高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一『变式探究』1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？2.等差数列{an}前n项和Sn中，以S7最大，且|a7||a8|，则使Sn0的n的最大值为_____．3.等差数列{an}中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，则使an0的最大自数n=（）．A.10B.11C.12D.13高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0，S13＜0.（1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大。5.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列{an}的公差d；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值；高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一题型3：等差数列中的an与Sn的关系例3：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，且，则55ba.327nnTSnn高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．53457nnBAnn『变式探究』nnba高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一例4：已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1时适合上式，∴{an}的通项公式为an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤，即当1≤n≤6(n∈N*)时，an＞0；当n≥7时，an＜0.132解析：题型4：求等差数列的前n项的绝对值之和高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一(1)当1≤n≤6(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.∴Tn＝12n－n2，1≤n≤6，n∈N*，n2－12n＋72，n≥7，n∈N*.(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一『变式探究』1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，d＝＝－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*.a4－a14－1解析：高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一(2)|an|＝－2n＋10，1≤n≤5，n∈N*2n－10，n≥6，n∈N*①当1≤n≤5，n∈N*时，Sn＝n8－2n＋102＝－n2＋9n，②当n≥6，n∈N*时，Sn＝－25＋9·5＋n－52＋2n－102＝n2－9n＋40.由①，②可得Sn＝－n2＋9n，1≤n≤5n2－9n＋40，n≥6，n∈N*.Sn＝－25＋9·5＋n－52＋2n－102＝n2－9n＋40.由①，②可得Sn＝－n2＋9n，1≤n≤5n2－9n＋40，n≥6，n∈N*.(2)|an|＝－2n＋10，1≤n≤5，n∈N*2n－10，n≥6，n∈N*①当1≤n≤5，n∈N*时，Sn＝n8－2n＋102＝－n2＋9n，高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一题型5：等差数列的综合应用例5：已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Bn.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一[解析](1)∵对任意的正整数n,2Sn＝an＋1①恒成立，当n＝1时，2a1＝a1＋1，即(a1－1)2＝0，∴a1＝1.当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋1.②①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an0，∴an＋an－10，∴an－an－1＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年4月13日星期一(2)∵an＝2n－1，∴bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝121－13＋1213－15＋1215－17＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中