2015年中科院数学夏令营分析试题及解答

中国科学院数学与系统科学研究院2015年夏令营试题及答案科目：分析[e-mail]2015年7月26日答案写在答题纸上,写在试卷和草稿纸上一律无效。1.(10分）对哪些实数,级数P1n=1(1nsin1n)收敛？因为1nsin1n=13!n3+o(1n3);(n!+1):所以(1nsin1n)等价于16
1n3所以13时,原级数收敛,13时,原级数不收敛.2.(6分）设y是[0,1]上C2光滑实函数,满足方程y00(x)+y0(x)y(x)=0;x2[0;1];且y(0)=y(1)=0,试证:y(x)0;8x2[0;1]:原方程的特征方程为2+1=0;它有两个不同特征根,设为1;2;则通解为y(x)=C1e1x+C2e2x;将y(0)=y(1)=0代入求解得C1=C2=0,所以y(x)0.123.(10分）设f是R2上的有界连续实函数,定义g(x)=Z11f(x;t)1+t2dt;x2R;试证g(x)是R上的连续函数．设jf(x;y)jM;则f(x;t)1+t2M1+t2而R1111+t2dt收敛到,所以题中所给的无穷积分一致收敛,又f(x;t)1+t2连续,所以g(x)连续.4.(10分）设f是[1;+1)上的连续可微实函数,满足f(1)=1,且f0(x)=1f2(x)+x2;x2(0;+1);试证：limx!1f(x)存在且不超过1+14:因为在(1;+1)上,f0(x)0,所以在[1;+1)上,f(x)递增,所以f(x)f(1)=1;所以f0(x)11+x2,所以f(x)=f(1)+Zx1f0(x)dxf(1)+Z+1111+x2dx=1+14;8x1;所以limx!+1f(x)存在且不超过1+14:5.(14分,每小题7分）设f是[0,1]上连续实函数,计算下列极限并证明你的结论：(1)limn!+1Z10xnf(x)dx;(2)limn!+1nZ10xnf(x)dx:(1)在[0,1]上,jxnf(x)jf(x);,且f(x)连续,所以limn!+1(R)Z10xnf(x)dx=limn!+1(L)Z[0;1)xnf(x)dx=(L)Z[0;1)limn!+1f(x)dx=(L)Z[0;1)0dx=0(2)80;当n充分大时,在(e1pn+1;1]上,有jf(x)f(1)j,所以此时nZ10xnf(x)dxZ10xnf(1)dx=Ze1pn+10nxn(f(x)f(1))dx+Z1e1pn+1nxn(f(x)f(1))dx3MZe1pn+10nxndx+Z1e1pn+1nxndx=Mnn+1epn+1+nn+1(1epn+1)!;(n!+1);其中，M是jf(x)f(1)j的上界.所以limn!+1nR10xnf(x)dx=limn!+1nR10xnf(1)dx=f(1)