常微分方程期末考试试题与答案

四川大学期末考试试题(A卷)答案及评分标准考试科目：常微分方程适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学1、选择填空，只有一个答案正确（30分，每小题5分）(1)考虑线性系统dx/dt=A(t)x,其中A是nn实矩阵函数、tR,xRn。其所有的解构成一个__a____。(a)n维线性空间，(b)n2维线性空间，(c)无穷维线性空间,(d)不是线性空间。(2)设X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，若C是nn可逆实矩阵，下列也是基本解矩阵的是___b___。(a)CX((t),(b)X((t)C,(c)C+X((t)，(d)C-X((t)。(3)X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，则它具有初值条件x(t0)=x0的解为___c___。(a)x(t)=exp(A(t-t0))x0(b)x(t)=X(t-t0)x0,(c)x(t)=X(t)X-1(t0)x0,(d)x(t)=x0exp(trA(t-t0))。(4)考虑系统dx/dt=f(t,x)关于x(t0)=x0初值问题,其中(t,x)R,即RRn中以(t0,x0)为中心的有界闭矩形。该初值问题存在唯一解的条件是___d___。(a)f连续，(b)f连续且对x有界，(c)f连续且对x可微，(d)f连续且对x连续可微。(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。(a)f连续，(b)f连续且对x有界，(c)连续且对x是Lipschitz的，(d)f连续且对x可微。(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。(a)存在x0使x(t,x0)0当t0，(b)对0附近所有x0有x(t,x0)0当t0，(c)存在x0使x(t,x0)0当t+，(d)对0附近所有x0有x(t,x0)0当t+.2、（20分）假设初值问题dx/dt=ax+f(t),x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中a为实数，tR,xR。(1)写出这个初值问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。[解](1)x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0texp(a(t-s)f(s)ds.[10分](2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=cexp(at)。设方程有形如x(t)=c(t)exp(at)的解。代入方程得dc/dt=exp(-as)f(s),从而得到特解x(t)=exp(at)exp(-as)f(s)ds和通解x(t)=exp(at)c+exp(a(t-s)f(s)ds.通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分]3、（15分）求方程(xy2+4x2y)+(3x2y+4x3)dy/dx=0的通解。[解]左式=(xy2dx+3x2ydy)+(4x2ydx+4x3dy)[5分]=(x/y)(y3dx+3xy2dy)+4x2(ydx+xdy)[5分]=(x/y)d(xy3)+4x2d(xy)=(x/y){d(xy3)+4xyd(xy)}=(x/y)d{xy3+2(xy)2}，[4分]从而得到xy3+2(xy)2=C。[1分]4、（15分）计算方程d2x/dt2+x=cost的通解。进而计算方程关于初值x(0)=1,dx/dt(0)=0的解。[解](1)特征方程为2+1=0,=i,-i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分](2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而z(t)=exp(it){1/((D+i)2+1)}1=exp(it)(1/((D2+2iD))1=exp(it)(1/((D+2i))t=exp(it)(1/((D+2i))t=(1/(2i))(t-1/(2i))exp(it)=(cos(t)/4+tsin(t)/2)+i(sin(t)/4-tcos(t)/2).从而，x(t)=Rez(t)=cos(t)/4+tsin(t)/2.[5分]通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t)+cos(t)/4+tsin(t)/2.[1分](3)代入初始条件得C1+1/4=1,C2=0,即C1=3/4,C2=0.最终解为x(t)=(3/4)cos(t)+cos(t)/4+tsin(t)/2=cos(t)+tsin(t)/2.[4分]5、（20分）方程d2x/dt2+(k/m)x=0描述了线性弹簧振子的自由振动，其中质量m0,Hook常数k0。记y表示运动的速度，即y=dx/dt.（1）写出方程的等价一阶微分方程组。（2）求通解。（3）分别对k0和k0判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性），并给出论据。（4）画相平面轨道的草图。[解](1)等价一阶微分方程组为dx/dt=y,dy/dt=-(k/m)x.[4分](2)特征方程为2+(k/m)=0，当k0时特征值为1=(-k/m)1/2，2=-(-k/m)1/2。当k0时特征值为1=(k/m)1/2i，2=-(k/m)1/2i。[3分]因此当k0时通解为x(t)=C1exp((-k/m)1/2)+C2exp(-(-k/m)1/2),当k0时通解为x(t)=C1cos((k/m)1/2t)+C2sin((k/m)1/2t).[3分](3)当k0时奇点（0，0）的是鞍点，是不稳定的。[3分]当k0时奇点（0，0）是中心，是稳定的。[3分](4)草图(略)[4分]注：其他等价做法以及等价结果相应给分。满卷100分