近世代数期末试卷7

近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群Z12有_____4____个生成元.2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.3.6阶循环群有______2___个子群.4、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为—mⅠn——。5.模8的剩余类环Z8的子环有____4_____个.6.整数环Z的理想有___无穷多个______个.7、n次对称群Sn的阶是————n!——。8、9-置换728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.10.24Z中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个___变换群_____同构。12.设()Ga为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于____整数加群_______，（2）若a的阶为n，则G同构于___单位根群_________。13.在整数环Z中，23=__________________；14、n次对称群Sn的阶是_____.15.设12,AA为群G的子群，则21AA是群G的子群的充分必要条件为___________。16、除环的理想共有______2______个。17.剩余类环Z5的零因子个数等于_____0_____.18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是_________.19.剩余类环Z7的可逆元有________6__个.20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_____11____.21.整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.22.剩余类环Zn是域n是____素数_____.23、设Z7={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7[x]中,(5x-4)(3x+2)=________.24.设G为群，aG，若12a，则8a______3_________。25、设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n=__e_.26.设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有____6______个.27、整数环Z的商域是________.28.整数加群Z有_____2_____个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是————————。30.已知1234531254为5S上的元素，则1＝__________。31.每一个有限群都与一个____置换群______群同构。32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。二、基本概念的理解与掌握。（二）选择题1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。A.2B.4C.6D.84、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是()A5；B6；C7；D9.5、下面的集合与运算构成群的是()A{0，1}，运算为普通的乘法；B{0，1}，运算为普通的加法;C{-1，1}，运算为普通的乘法；D{-1，1}，运算为普通的加法;6、关于整环的叙述，下列正确的是()A左、右消去律都成立；B左、右消去律都不成立;C每个非零元都有逆元；D每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述，下列不正确的是()A在环的同态满射下，理想的象是理想;B在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C除环只有两个理想，即零理想和单位理想D环的最大理想就是该环本身.8.整数环Z中，可逆元的个数是()。A.1个B.2个C.4个D.无限个9.设M2(R)=dcbaa,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是()。A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环10.设Z是整数集，σ(a)=为奇数时当为偶数时当a,21aa,2a，Za，则σ是R的().A.满射变换B.单射变换C.一一变换D.不是R的变换11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是().A、x→10xB、x→2xC、x→|x|D、x→-x.12、设是正整数集Z上的二元运算，其中max,abab（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）A、不适合交换律B、不适合结合律C、存在单位元D、每个元都有逆元.13.设3S={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则3S中与元（123）不能交换的元的个数是()A、1B、2C、3D、4.14、设,G为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）A、0和x；B、1和0；C、k和2xk；D、k和(2)xk15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类,,,HaHbHcH。如果H6,那么G的阶G（）A、6B、24C、10D、1216.整数环Z中，可逆元的个数是().A、1个B、2个C、4个D、无限个。17、设12:fRR是环同态满射，()fab，那么下列错误的结论为（）A、若a是零元，则b是零元B、若a是单位元，则b是单位元C、若a不是零因子，则b不是零因子D、若2R是不交换的，则1R不交换18、下列正确的命题是（）A、欧氏环一定是唯一分解环B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环D、唯一分解环必是欧氏环19.下列法则，哪个是集A的代数运算().A.A=N,ab=a+b-2B.A=Z,ab=baC.A=Q,ab=abD.A=R,ab=a+b+ab20.设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是().A.x→-xB.x→x1C.x→x1D.x→5x21.在3次对称群S3中，阶为3的元有().A.0个B.1个C.2个D.3个22．剩余类环Z6的子环有().A.3个B.4个C.5个D.6个23、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）A.11abc；B.11ac；C.11bca；D.cab1。24、设21:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A.f的同态核是1G的不变子群;B.1G的不变子群的象是2G的不变子群。C.1G的子群的象是2G的子群；D.2G的不变子群的逆象是1G的不变子群；25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果H6，那么G的阶G（）A.6；B.24；C.10；D.12。（三）判断题（每小题2分，共12分）1、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（）2、除环中的每一个元都有逆元。（）（非零元）3、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（T）4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）5、域是交换的除环。（T）6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（）7、设f：GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f(a)的阶相同。（）8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（F）9、循环群的子群也是循环群。（T）10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（）11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（F）12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（T）13、如果环R的阶2，那么R的单位元10。（）14、指数为2的子群不是不变子群。（F）15、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（）16、两个单位和的乘积也是一个单位。（）17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（）19、整环必是唯一分解环。（）20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。（）21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（）22、整数环Z和环Qx都是主理想环。（）23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（）24、整数环Z、数域P上的一元多项式环Px和Gauss整环Zi都是欧氏环。（）25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（）26、欧氏环主理想环唯一分解环有单位元的整环。（）27、设环,,R的加法群是循环群,那么环R必是交换环.（T）28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子.（F）29、剩余类mZ是无零因子环的充分必要条件是m为素数.（T）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（T）31、CS002是CM2的子域.（）32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（）33、理想必是子环,但子环未必是理想.（）34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.（）35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（T）三、基本方法与技能掌握。（四）计算题1．设为整数加群,,求?]:[HZ解在Z中的陪集有:,,,,,所以,5]:[HZ.2、找出3S的所有子群。解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。3．求18Z的所有子群。解18Z的子群有;;;;;.4．将表为对换的乘积.解.容易验证:(42)(26)(12)(13)(27)(12).5．设按顺序排列的13张红心纸牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K经一次洗牌后牌的顺序变为3,8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解每洗一次牌,就相当于对牌的顺序进行一次新的置换.由题意知,第一次洗牌所对应的置换为则3次同样方式的洗牌所对应的置换为6．在6Z中,计算:(1);(2);(3);(4).解(1);(2);(3);(4).7．试求高斯整环的单位。（可逆元）解设()为的单位,则存在,使得,于是因为,所以.从而,,或.因此可能的单位只有显然它们都是的单位.所以恰有四个单位:8．试求12Z中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素.解由定理可知:(1)为12Z的全部零因子.(2)为12Z的全部可逆元.直接计算可知,相应的逆元为,,,.9、找出模6的剩余类环6Z的所有理想。解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群，我们有G1=（[0]）={[0]}G2=（[1]）=（[5]）=RG3=（[2]）=（[4]）={[