2.2.1双曲线及其标准方程(上课用)概要.

生活中的双曲线法拉利主题公园巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆一、创设情境引入课题2.2.1双曲线及其标准方程椭圆的定义是怎样叙述的？平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做椭圆.2F1FxoMy思考：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？回顾：平面内与两定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是怎样的图形？2.2.1双曲线及其标准方程思考：二、动手实践探索新知2.2.1双曲线及其标准方程拉链演示①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，|MF1|-|MF2|=-|F1F|=-2a由①②可得：2a是定值,02a|F1F2|.||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）2.2.1双曲线及其标准方程归纳双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹叫做双曲线.的绝对值2a（小于︱F1F2︱）①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.02a2c注意oF2F1M2.2.1双曲线及其标准方程挖掘双曲线的定义思考：（1）若2a=|F1F2|,则轨迹是？（2）若2a|F1F2|,则轨迹是？（3）若2a=0,则轨迹是？(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线aycxycx22222双曲线的标准方程的推导如图建立直角坐标系，设M（x，y）是双曲线上任意一点，F1（－c，0），F2（c，0）.aMFMF221{M|}xOy椭圆的标准方程的推导以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立坐标系.|F1F2|=2c(c0),则F1(-c,0)、F2(c,0)设M(x，y)为椭圆上的任意一点.}2|||||{21aMFMFMPaycxycx2)()(22222F1FxoMyF2F1M点M满足的集合：由两点间距离公式得：双曲线的标准方程的推导)()(22222222acayaxac0022222\bbacac令,,22acac即：由双曲线定义知：222222bxayab平方整理得222()cxaaxcy再平方得222()cxaaxcy)()(22222222caayaxca22ac即ac022\ca222acb令222222bxayab代入上式，得即)0(12222babyax即代入上式，得平方整理得再平方得2222()2()xcyaxcy移项得移项得2222()2()xcyaxcy椭圆的标准方程的推导)0,0(12222babyaxxOy12222byax(a0，b0)这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线的焦点在轴上,焦点是F1(-c，0)，F2(c，0)x这里222cabF2F1MxOy双曲线的标准方程2.2.1双曲线及其标准方程OyxMF1F2F2F1MxOyF2F1MyOxF2F1MxOy(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).想一想焦点在轴上的标准方程是y122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0).122ba2x2y(a0，b0)122ba2x2y焦点是F1(-c，0)，F2(c，0)焦点在轴上的标准方程是x双曲线的标准方程2.2.1双曲线及其标准方程1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，写出其焦点的坐标.12422yx22032xy224936yx⑴⑵⑶⑷22149xy22194yx22194yx1(6,0)F2(6,0)F，1(0,13)F2(0,13)F，三、随堂练习应用新知2.2.1双曲线及其标准方程解：(1)是⑵是⑶不是⑷不是2.2.1双曲线及其标准方程定义图象方程焦点a,b,c的关系||MF1|－|MF2||=2a（０2a2c）F2F1MxOyOyxMF1F212222byax12222bxayF(±c,0)F(0,±c)222bac四、课堂小结畅谈收获看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,yx问题2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?问题1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设所求方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.所以点P的轨迹方程为221916xy.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是一条双曲线,例1已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.典例展示变式训练1:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足1210PFPF,求动点P的轨迹方程.∴1210PFPF轨迹方程为0(55)yxx或≥≤.∵1210FF,点P的轨迹是两条射线,解：变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设双曲线方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点P的轨迹方程为221916xy(3)≥x.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的一支(右支),解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合如图所示，建立直角坐标系xOy设爆炸点P的坐标为(x,y)，则3402680PAPB即2a=680，a=340800AB8006800,0PAPBx\1(0)11560044400xyx222800,400,cc\xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?答:爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.变式训练3.如果方程表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm解:21mm得或(2)(1)0mm由∴m的取值范围为(,2)(1,)1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线C2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则k.(-1,1)解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，因P1，P2在双曲线上，所以有4m＋454n＝1169×7m＋16n＝1解得m＝－116n＝19所以所求双曲线方程为－x216＋y29＝1，即y29－x216＝1.，，，，1234(2,5)(74)23PP和，3.已知双曲线过两点，求双曲线的标准方程.1.双曲线定义及标准方程；4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.2.双曲线焦点位置的确定方法；3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；