等差数列的教学设计

等差数列教学设计第2页共11页等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习情况分析教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。第3页共11页在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。五、教学重点与难点重点：①等差数列的概念。②等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。②理解等差数列是一种函数模型。关键：等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。六、教学过程教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何。这个问题该怎样解决呢？倾听课堂引入探索由学生观察分析并得出答案：观察分析，发表各自的意见引向课题第4页共11页研究在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___,___,___,___,…水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5发现规律思考：同学们观察一下上面的这两个数列：0，5，10，15，20，……①18，15.5，13，10.5，8，5.5②看这些数列有什么共同特点呢？观察分析并得出答案:引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。总结提高[等差数列的概念]对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的第5页共11页个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有2baA让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，73645142,aaaaaaaa从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q深入探究，得到更一般化的结论引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。第6页共11页则qpnmaaaa总结提高[等差数列的通项公式]对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。⑴、我们是通过研究数列}{na的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这三组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是nan5②这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218nan学会发现规律，并加以总结。⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1a和公差d，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：213243,,(1),aadaadnaad个等式所以,12daa,23daa,34daa……引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。总结提高思考：那么通项公式到底如何表达呢？,12daa,2)(123daddadaa进一步的分析。第7页共11页,3)2(134daddadaa……得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1a为首项，d为公差的等差数列}{na的通项公式为dnaan)1(1也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a和公差d，那么这个等差数列的通项na就可以表示出来了。思考，并发表各自的意见。让学生有自主思考的时空。应用巩固例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？让两个学生分别对这两小题加以分析。让学生参与课堂。分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。解：⑴由1a=8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820a⑵由1a=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45nnan由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例题评述：从该例题中可以看出，等聆听教师点评通过教师点第8页共11页差数列的通项公式其实就是一个关于na、1a、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第1题；ms完成练习讲练结合，有利提高学生的知识应用水平例2．在南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算径，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何。算经中的解法：以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率，二率相减，余为差实，并先后人数而半之，以减凡人数，余为差法，实如法而一，得差数。解：按照题意，解法应分三步第一步求公差d用现代符号，记后入人数为1n，后得金数为1s先入人数为3n先得金数为ms，则算经中的解法为d=[（ms/3n）－（1s/1n）]/[n－（3n+1n）/2]=（1nms－3n1s）/｛［n－(3n+1n)/2］1n3n｝,若记未列人数为2n，则d=(1nms－3n1s)/［2n+(1n+3n)/2］1n3n本题：解得d=7/78，现用现代计算公差d由：8a+9a+10a=4即：31a+24d=4解得d=7/781a+432aaa=3学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。第9页共11页41a+6d=3所以算经中的解法是正确的。第二步，把后入四人每人所得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相当于已知d，ns，n，求1a，即1a=｛ns－[n(n－1)/2]d｝/n。第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，相当于已知1a，d，n，求na，即na=1a+（n－1）d，以上都是我国古代数学家张邱建提出的问题及解法。例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。聆听教师点评通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。探索研究引导学生动手画图研究完成以下探究：⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53nan的数列的图象。这个图象有什么特点？⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列qpnan与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的na可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。第10页共11页分布的一群孤立点；课堂小结本节主要内容为：①等差数列定义：即daann1(n≥2)②等差数列通项公式：nadna)1(1(n≥1)推导出公式：dmnaamn)(以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。评价设计1、已知}{na是等差数列.⑴5372aaa是否成立？5192aaa呢？为什么？⑵1121nnnaaan（）是否成立？据此你能得出什么结论？21nnknkaaan（）是否成立？据此你又能得出什么结论？2、已知等差数列}{na的公差为d.求证：mnaadmn作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究思考。七、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的