636数学分析考研真题答案08

第1页（共6页）2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：636科目名称：数学分析一、（20分）解答以下三个小题：（1）用分析定义证明：如果lim0nnx，则12lim0nnxxxn.（13分）（2）如果12lim0nnxxxn，是否一定有lim0nnx？为什么？（3分）（3）计算极限111123limnnn.（4分）证：（1）∵lim0nnx，∴0,NN，nN：2nx.……2分利用三角不等式，得121212nNNNnxxxxxxxxxnnn……5分而12lim0Nnxxxn（∵12Nxxxc常数）……7分对上述的0，1NN，1nN：122Nxxxn.……9分1222NNnxxxnNnn.……11分取1max,NNN，则0,NN，当nN时，有12nxxxn22.∴12lim0nnxxxn.……13分（2）不一定.……1分反例：数列1(1)nnx，n.有12lim0nnxxxn，但数列{}nx发散.……3分（3）∵1lim0nn……2分∴111123lim0nnn……4分第2页（共6页）二、（12分）如果函数()fx在[0,)上可导，且()1fx，(0)1f，试证：在区间(0,1)内存在唯一的，使得()0f.证：由已知，()fx在0,1上可导.在0,1上应用Lagrange中值定理，得11(0)()(0)ffff，1(0,1)，……5分11(0)()(0)(0)(0)0ffffff，……7分由零点存在定理，存在(0,1)，使()0f.……9分再证零点唯一，只要证函数()fx在[0,)上单调，而由()10fx，即知()fx在[0,)上严格单调减少，从而上述是唯一的.……12分三、（12分）求函数20()sin,0xxfxxx　，的不定积分.解：0x时，3213xxdxC……3分0x时，2sincosxdxxC……6分得出121CCC……8分fxdx3,03cos1,0xCxxCx……12分四、（10分）计算220220limxuxuxeduedu.解：220220limxuxuxeduedu220222limxxuxxeedue……4分2022limxuxxedue……5分第3页（共6页）222lim2xxxexe……9分1lim0xx……10分五、（12分）01()212xxfxxx，设函数，，试求（1）20()(12)nxnafxedxn　　，，；（8分）（2）2limnnna.（4分）解：（1）12012nxnxnaxedxxedx　……3分221nen……8分（2）22limlim11nnnnnae……4分六、（10分）证明积分201xyedxx关于0,y一致收敛.证：∵22111xyexx，00xy………4分而2001arctan21dxxx收敛，………8分由Weierstrass判别法，知积分对0,y一致收敛.………10分七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分）(1)1,(0)nnn；(2)111(1)nnnnn；(3)1111nnn.解:(1)由11limnnnaa………3分知1收敛；1发散；………5分1时111,1nnnn收敛，1发散.………7分第4页（共6页）（2）由112(1)1lim1nnnnnen，（或210nun）………4分而211nn收敛，知111(1)nnnnn收敛.………7分（3）由111lim11nnnn,………4分11nn发散，知1111nnn发散.………7分八、（25分）设函数22221sin,,0,0,0,,0,0xyxyfxyxyxy（1）计算函数,fxy的偏导数；（10分）（2）问函数,00fxy在，点是否连续？是否可微？为什么？（8分）（3）问偏导函数在0,0点是否连续？为什么？（7分）解:(1)2000,00,010,0limlimsin0xxxfxffxxx……3分,xfxy=222222112sincos,,0,00,,0,0xxxyxyxyxyxy……8分对称地，,yfxy222222112sincos,,0,00,,0,0yyxyxyxyxyxy……10分(2),fxy在00，点可微，从而在00，点也连续……3分因为0,00,0,ffxyffxy，0,00xf，0,00yf.第5页（共6页）22xy，2222,111sinsinfxyxyxy.所以00,1limlimsin0fxy，……7分即00,00,0lim0xyffxfy.0,00,0,0xyffxfy∴,00fxy在，点可微.……8分（3）偏导函数在0,0点不连续.……2分因为极限222222000011lim,lim2sincosxxxyyxfxyxxyxyxy不存在：由00111lim,lim2sincos222xxxfxxxxx不存在，即知（或由沿直线0,0yx时极限不存在，即知）所以,xfxy在0,0在点不连续.……6分同理，,0,0yfxy在点也不连续.……7分九、（12分）计算曲线积分224Lxdyydxxy，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（1R），取逆时针方向.解：2222,44yxPQxyxy，则222224(4)yxQPyxxy，(,)(0,0)xy在不含原点的区域上积分22LxdyydxIxy与路径无关.……2分当1R时，由Green公式，得2204Lxdyydxxy.……4分第6页（共6页）当1R时，取足够小的椭圆222:4Cxya，使之含于L内，C取逆时针方向，由Green公式：2204LCxdyydxxy，……8分∴222222112244LCCxdyydxxdyydxaxdyydxaxyxyaa.……12分十、（16分）解答以下两个小题：（1）证明2xedx；（8分）（2）计算222min{,}xyRxyedxdy.（8分）证:（1）∵22222xyxyaed222001araderdre……3分令22,xyadxedy……5分而2222xxyedxedxedy22xyedxdy∴2xedx……8分（2）222min{,}xyRxyedxdy222212xyxyDDxedyed……2分2222yxyxxyedyxedxedxyedy……4分22122yedy……6分2122xedx.……8分