1.1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理(习题课)

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（习题课）一、分类计数原理完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理说明N=m1+m2+…+mn种不同的方法基本知识二、分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理说明N=m1×m2×…×mn种不同的方法基本知识例1.三个比赛项目，六人报名参加。１）每人参加一项有多少种不同的方法？2）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？3）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？6(1)3729(3)6541203(2)6216例题讲解例2．设集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从A到B的共有多少个不同映射？二、映射个数问题:例题讲解变式：设集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从B到A的共有多少个不同映射？43813464三.子集问题规律：n元集合的不同子集有个。12{,,...,}nAaaa2n变式：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。例3：n元集合的不同子集有多少个？12{,,...,}nAaaa52125125225例题讲解例4:24有多少个正约数?其中偶约数有多少个？四.约数问题例题讲解3242331118正约数有个，其中偶约数有6个.例5:如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？五.涂色问题:例题讲解解:按地图中A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,给区域A涂色，有3种涂法；第二步,给区域B涂色，有2种涂法；第三步,给区域C涂色，有1种涂法；第四步,给区域D涂色，有1种涂法；所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。例题讲解1、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：引申:2、将红、黄、绿、黑4种不同的颜色涂入右图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法。ABCDE解法1:按地图中B、D区域是否同色分两类完成,第一类,B、D同色，有4×3×2×1×2=48种涂法；第二类,B、D不同色，有4×3×2×1×1=24种涂法；根据分类加法原理,不同的涂色方案共有48+24=72种。变式训练2、将红、黄、绿、黑4种不同的颜色涂入右图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法。ABCDE解法2:依题意至少要选用3种颜色，按所用的颜色种数分两类完成,第一类：选用三种颜色时，区域B,D必须同色，区域A,E必须同色,故有4×3×2×1×1=24种涂法；第二类：选用四种颜色时，若区域B,D同色，则区域A,E不同色,有4×3×2×1×1=24种涂法；若区域A,E同色，则区域B,D不同色,有4×3×2×1×1=24种涂法；由分类加法原理,不同的涂色方案共有24+24+24=72种。变式训练３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有种。ABCD分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法。根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）654321（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求课堂练习1、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？4、已知则方程可表示不同的圆的个数有多少？{3,4,6},{1,2,7,8},{8,9}abr222()()xaybr1.已知,则方程可表示不同的圆的个数有多少？{3,4,6},{1,2,7,8},{8,9}abr222()()xaybr思考：如果一个数表示成的形式，其中，，，，i,j,k,l都是自然数，那么满足条件的数有多少个？lkjl753240i30j20k10l解：5×4×3×2=120个解：3×4×2=24个加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：例:75600有多少个正约数?解:由于75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,i,j,k,l都是自然数。lkjl753240i30j20k10l于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.约数问题4、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）42解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）对A.12B.24C.36D.48B练习：三个比赛项目，六人报名参加。１）每人参加一项有多少种不同的方法？２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？72936654120362164张卡片的正、反面分别0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可以组成多少个不同的三位数？1．（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(假设冠军只有一人)，共有多少种可能的结果2．有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？3．设集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从A到B的所有不同映射的个数是：A.81B.64C.12D.274．集合M＝｛1，2，3，4｝的子集个数是：A.6B.8C．12D.16