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第十编计数原理§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N=种不同的方法.m1+m2+…+mn基础知识自主学习2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=种不同的方法.m1×m2×…×mn3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.完成一件事情分类相互独立分步相互依存基础自测1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2解析“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3+2=5种不同的选法.B2.设集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有（）A.6个B.8个C.12个D.16个解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以当m=4时，n=1,2,3；当m=3时，n=1,2；当m=2时，n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6个，故选A.mx2ny2A3.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）A.7B.64C.12D.81解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以，有4×3=12种选法，故选C.C4.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？1639120题型一分类加法计数原理【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？采用列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的所有可能.然后用分类加法计数原理.解方法一一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能.一个两位数的个位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.把这样的两位数分成10类.思维启迪题型分类深度剖析（1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数；（2）当个位数字为1时，十位数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9，有8个满足条件的两位数；（3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6，7，8，9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个.由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45个.方法二考虑有0与无0两类有0有9个无0则有3629C所以共9+36=45个题型二分步乘法计数原理【例2】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步乘法计数原理.思维启迪解（1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b0，所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.知能迁移2一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？探究提高2049题型三两个计数原理的综合应用【例3】（12分）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数.先根据条件把“比2000大的四位偶数”分类→选取千位上的数字→选取百位上的数字→选取十位上的数字解完成这件事有3类方法：第一类是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3=48个；4分第二类是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3=36个；8分第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类.10分对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4×4×3+3×4×3+3×4×3=120个.12分在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求.另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定.解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.探究提高知能迁移3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5,则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7=420种.方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3+2×2）=420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有2×种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有种不同的方法.由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为=420种.55A45A35A354555AA2A方法与技巧1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.混合问题一般是先分类再分步.3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.思想方法感悟提高失误与防范应用两种原理解题：（1）分清要完成的事情是什么？（2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间互相独立，“步”间互相联系；（3）有无特殊条件的限制；（4）检验是否有重漏.一、选择题1.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A.3B.4C.6D.8解析当公比为2时，等比数列可为1、2、4，2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1，8、4、2，9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个.D23定时检测2.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案），那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是（）A.16B.32C.48D.64解析每四个小方格（2×2型）中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12=48个.C3.（2008·全国Ⅰ文，12）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法，则不同的填写方法共有()A.6种B.12种C.24种D.48种解析由于3×3方格中,每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起.如图中的△，当△全为1时，有2种（即第一行第二列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时,也共有6种.共12种.B4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（）A.180种B.120种C.96种D.60种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180（种）涂色方法.A5.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）A.8种B.9种C.10种D.11种解析方法一设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c、d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3+3+3=9种.B方法二班级按a、b、c、d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：∴共有9种不同的监考方法.二、填空题6.（2008·浙江，理16文17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.解析可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有种排法；第二步：再将4、6插空排列，共有2种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有种排法.由分步计数原理得共有·2·=40个.4022A22A22A22A15C15C7.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1458），若把四位“渐升数”按