华东师范大学数学分析2009试题及解答

1华东师大2009年数学分析考研试题一．判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例.1.设limxagxA，limyAfyB，此处,,aAB均为实数，则limxafgxB.2.设fx为闭区间,ab上不恒为零的连续函数，Dx为Dirichlet函数，则fxDx在,ab上不可积.3.存在实数0a，na，nb1,2,n使得011,1,2cossin20,4,5nnnxaanxnnxx.4.已知fx在2x处连续，且2lim12xfxx，证明fx在2x处可导.5.如果fx在0x处可导，则fx在0x的一个邻域内连续.6.若多项式函数列nPx在,上一致收敛于函数fx，则fx必是多项式函数.二．计算下列各题1.设0a，1a，求极限11lim1xxxaax.2.设圆盘222xaybR上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量.3.设S为3R中封闭光滑曲面，l为任何固定方向，n为曲面S的外法线方向，求cos,SnldS.三．证明下列各题1.设0P是曲面222222:1xyzSabc外一点，1PS，若100maxPSPPPP，求证直线10PP是S在点1P处的法线.22.设322sin,0,0,0yyxxfxyxyx，证明,fxy在原点处沿任何方向的的方向导数存在，但不可微.3.设ab，cd均为实数，已知fx在,ab上单调，值域为,cd，证明fx在,ab上一致连续.4.设数列na满足条件：0na，1,2,n且24lim0nnnnaaa，证明数列na无界.5.设fx在0,上连续且有界，证明对任意正数T，存在nx，使得lim0nnnfxTfx.6.设函数fx在闭区间,abab上可积，0bafxdx，证明若对任意,xab，有0fx，则存在,,cdab，cd使得对任意,xcd，均有0fx.3华东师大2009年数学分析考研试题解答一．1.解错误.反例.设,,ByAfyCyA，CB，gxA，显然limxagxA，limyAfyB，但fgxC，limxafgxCB.2.解正确.由fx在,ab上连续不恒为零，可知，存在,,cdab，使得fx在,cd上有0fxM，显然fxDx在,cd上不可积，从而fxDx在,ab上不可积.3.解正确.可选取到周期为2的连续可微函数fx，且当1,2x时，1fx；4,5x时，0fx，取0a，na，nb为fx的Fourier系数，则有01cossin2nnnaanxnnxfx，,x，结论得证.4.解正确，因为222limlim202xxfxffxxx，222limlim122xxfxffxxx，所以fx在2x处可导.5.解错误.反例设2,0xxfxx为无理数，为有理数，显然fx在0x处可导，但fx在0x处不连续.46、设实系数多项式序列{()}nfx在R上一致收敛于实值函数()fx，证明：()fx也是多项式。证明因为实系数多项式序列{()}nfx在R上一致收敛于实值函数()fx，所以对任意0，存在*NN，使得当,mnN时，有()()nmfxfx，又因为()()nmfxfx也是多项式，若()()nmfxfx不为常数，则当x趋于无穷时，()()nmfxfx也趋于无穷，矛盾。所以,()()nmnmfxfxa，其中,{}nma为一无穷小序列。由上面结论及()nfx是多项式，可知当nN时，()()nnfxPxb，其中()Px为某一固定的多项式，{}nb为某一收敛数（因为,nmnmbba为柯西列）因为由已知条件()()()()nnfxfxfxPxb，一致收敛于0,及limnnbb，所以有()()fxPxb，即()fx也是多项式，结论得证。二．1.解11lim1xxxaax1111limlim1xxxxxaax11ln1limxaxaxe，11limln1xxaxa1ln1lim1xxxaaalnlim1xxxaaaln,10,01aaa，当1a时，11lim1xxxaaax，5当01a时，11lim11xxxaax.2.解22,xyxaxb,DMxydxdy200Rdrrdr3312233RR.3.解设123,,llll，则123cos,cos,cos,cos,nllnxlnylnz，利用高斯公式，则有cos,SnldS123cos,cos,cos,SlnxlnylnzdS312llldxdydzxyz00dxdydz.三．1.证明设0000,,Pxyz，,,Pxyz，0,,fxyzPP222000xxyyzz，显然,,fxyz在S上连续，S为有界闭集，,,fxyz在S上达到最大值，设f在1111,,PxyzS处达到最大值，令2222220002221xyzLxxyyzzabc，02220Lxxxxa，02220Lyyyyb，02220Lzzzzc，令000222,,,,xyzxxyyzzabc，在1P处取到条件极值，必是L的驻点，即得1111,,Pxyz满足111101010222,,,,xyzxxyyzzabc，6曲面S在1P的法线方向为111222,,xyzabc，所以直线10PP是S在点1P处的法线.2.证明由,(0,0)fxyfy，即得,0,0lim,0,00xyfxyf，表及里所以,fxy在0,0处连续，对任意方向12,hhh，22121hh，2112101sin,0,0,0lim0,0thhfththfhth，fh存在，显然0,00xf，0,00yf，当220xy，0x时，22,0,00,00,0xyfxyffxfyxy32222sinyyxxyxy的极限不存在，所以,fxy在0,0处不可微.3.证明因为函数fx的值域为开区间,cd，所以fx在,ab上具有介值性质，又fx在,ab上单调，可以得到fx在,ab上连续，由fx在,ab上单调有界，所以limxbfx，limxafx存在且有限，从而知fx在,ab上一致连续.4.证明用反证法假若数列na有界，存在0M，使得0naM，7由条件知2424limlim0nnnnnnnnaaaaaa，对14，存在正整数N，当nN时，有24104nnnaaa，,1,nNN，令supNnnNa，0N，则有1142nNNNa，,1,nNN，于是有12NN，从而显然有0N，这与0N矛盾，所以数列na无界.5、设()fx在区间(0,)上连续有界，且对某个0T，对所有0x，有()()fxTfx，试证：存在数列{}(0,)nx，limnnx，使得lim(()())0nnnfxTfx。证明()()()gxfxTfx，依题设条件，可得必有()0gx或()0gx，(0,)x不妨设()0gx，(0,)x我们断定，0，对于任意大的0A，不可能对所有xA，恒有()gx，否则由0()((1))()(1)nkgxkTfxnTfxn,((1))()(1)fxnTfxn,()xA这与()fx的有界性矛盾，所以任取10n，存在nxn，使得1()ngxn，所以lim(()())lim()0nnnnnfxTfxgx，结论得证。注：()()()gxkTfxkTTfxkT。6、设函数fx在区间,ab上Riemann可积，且0bafxdx.8试证明：存在闭区间,,ab，使得当,x时，0fx.证明：反证法，假设对任意区间,,ab，都存,,使0f，任意分割01:naxxxb，都存在1,iiixx,使得()0if,于是()01lim()0nbikakfxdxfx，与题设条件0bafxdx，矛盾.