走进数学思维

走进数学思维郑毓信2008，12于广东引入：从一篇文章谈开去•“关于数学教育若干重要问题的探讨——对话特级教师王凌的读书笔记”（王凌、余慧娟，《人民教育》，2008第七期），第39-45页）•主要内容：对于若干“语录”的解读。背景（按）•前一段时间，我在网上神游，忽然发现许多数学教育网站、数学教师的博客上都流传首“王凌的35条精彩语录”，而且点击率很高。如今能成为“语录”的东西该是稀罕物了。打开仔细一看，真是“精彩”！浓缩了不少数学教育的思想精华。能写如此“精彩语录”的人，不用管“语录”从何而来，都代表了一种学养，一种品位。我决定见识见识这位隐藏着的智者，就其中的某些“语录”向王老师发问。经过两轮挑战和对话，形成了如下的文字，一个值得思考的问题•一篇读书笔记为什么会引起人们如此的兴趣？•这一事件又给了我们什么样的启示？[按]•……我决定见识见识这位隐藏着的智者……经过两轮挑战和对话，形成了如下的文字，也拿来与更多的读者分享——数学教师该读什么书，数学教育的精髓是什么？数学理论该如何用实践来解读——这一系列困扰每一个教师的问题的答案。另一段对话•“这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您让我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”启示（1）：教学研究的一条可能途径•用恰到好处的实例来解读理论。启示（2）：关于教师培训工作•培训形式的必要转变。•应当积极引导教师去读书、读好书。加强学习的意义（1）•了解发展动态，明确教学研究的方向。[例1]一段评论•“新课程实施以来，广大一线教师在实践中不断遇到新问题，如‘算法多样化’、‘创设情境’、‘小组合作’等，随着课程改革的深入，老师们对这些问题的认识逐步趋于清晰并付诸实践，而近两年来，‘解决问题’的教学成了教师们最为关注的话题……”（《小学数学教育》编辑部，2008年第七期）[例2]另一篇受欢迎的文章•邱学华等：“2007年小学数学教育的回顾与展望”（《小学教学》，2008年第三期）•相关的大事；•热点问题；•重要著作与论文。•展望。加强学习的意义（2）•增强判断能力，防止对于时髦潮流的盲目追随。[例3]一段心得体会•“最大的读书心得是什么？许多事情，过去有过；许多问题，前人想过，许多办法，曾经用过；许多错误，屡屡犯过。……懂得先前的事情，起码不至于轻信，不至于盲从。”（陈四益，《文艺报》，2005，9，17）[例4]美国课程改革的相关教训第一，对基本知识和技能的忽视。第二，不恰当的教学形式，即如对于合作学习的过分强调等，但却未能很好地发挥教师应有的作用。特别是，由于“建构主义”的盛行，人们认为学生只能掌握（或理解）其自身或通过同伴间合作所得以“建构”的知识，而这事实上就从根本上消取了教师在教学中所应发挥的主导作用。第三，数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功，因为，数学上的成功还需要艰苦的工作。事实是，在实践中我们经常可以看到这样的现象，即为了吸引学生的兴趣，教师或教材把注意力和大量的时间放到了相应的活动或情景之上，但却没有能集中于其中的数学内容，这当然是一种本末倒置。•第四，课程组织过分强调情景学习，而忽视了知识的内在联系。例如，在按照这种思想所编制的一些中学数学教材中，传统的关于几何、代数和三角的区分被取消了，取而代之则是所谓的‘整合性数学’，也即主要围绕实际生活来组织有关的数学内容的学习。然而，尽管后者具有综合性的特点，并较好地体现了数学的实际意义，但却未能使学生较好地掌握相应的数学知识。•第五，未能给予数学推理足够的重视。尽管《课程标准》明确地指出应当培养学生数学推理的能力，但是，就实践而言，所唯一得到强调的只是实验与猜测在数学发现中的重要作用，而逻辑与证明则完全被抛弃了。•第六，广而浅薄，这即是指，由于未能很好地区分什么是最重要的和不那么重要的，现行的数学教育表现出了‘广而浅’的弊病。特殊地，‘大众数学’看来忽视了不同的学生有着不同的需要，而一种更应注意避免的弊病则是将为一切人的数学变成了‘最小公分母’式的教育。”（“千年之交的美国数学教育”，载郑毓信，《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999年）加强学习的意义（3）•从长远的角度看，能够不断提高自己的理论素养，开拓视野，增强思维的深刻性。插入：一点建议•无论是专业的理论研究工作者，或是在职教师或未来的教师，都应经常自问：什么是自己专业领域内最为重要的一些著作或论文？•教育领域内的各个专家、包括各级教研员以及优秀教师都能为一线教师认真推荐本专业的几本好书或好的文章。我的推荐：一个值得关注的领域——数学教育哲学（1）数学教育哲学的兴起•必要的思考：这是否仅仅是一种时髦，还是有其一定的必然性，合理性？（2）数学教育哲学的主要内容•数学观•数学教育观•数学学习观与数学教学观（3）回到主题•什么是数学教育的价值？特别是，数学教育对于提升学生的素养究竟又能起到怎样的作用？•基本立场：我们既应充分体现数学教育的特殊性，同时也应高度重视教育的整体性质。可能的结论（1）充分发挥数学的文化价值；（2）帮助学生学会数学地思维，乃至“通过数学学会思维”。进入主题：走进数学思维！•一个持续的热点；•现状与问题：第一，普遍存在的一个思想障碍：由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好体现数学思维；第二，在现实中我们并可经常看到“简单移植”、“随意拔高”等作法。当务之急•应当针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是，第一，清楚的界定；第二，很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。一、从数学抽象谈起•父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”•子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（《译林•文摘版》）数学最基本的特性：抽象性•“甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫）数学与现实第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的运作；第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即包含了与现实世界在一定程度上的分离。分析与思考•“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”（转引自衡锋，“‘错题’演绎的精彩”，《小学数学教学》，2007年第十期）•对照：学习主要是一个“顺应”的过程，也即如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。[例一]这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”）•任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”•一位学生是这样解题的：52×150×12=……接下来的对话•“告诉我，你为什么这么列式？”•“老师，我错了。”•“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”•“除。”•“怎么除？”•“大的除以小的。”•“为什么是除呢？”•“老师，我又错了。”•“你说，对的该是怎样呢？”•“应该把它们加起来。”启而不发？•“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”•“老师，我早上不吃大饼的。”•“那你吃什么？”•“我经常吃粽子。”•“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”•“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”•“那你能吃几个粽子？”•“吃半个就可以了。”•“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”•“两个半。”•“怎么算出来的？”•“两天一个，5天两个半。”……结论之一•学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。•数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。[例二]这能否算一堂真正的数学课？•这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题：“某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？”•教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。事后的思考•学生通过这一教学活动究竟学到了什么，特别是，这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识？更多的问题•某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？•有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？•某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？•有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？结论之二•帮助学生学会数学抽象的关键：应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（“去情境化”）•相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。•问题：如何才能帮助学生学会“去情境化”？[例三]“找规律”（黄爱华、胡爱民）•“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这个乐句就变成│咚哒啦│咚哒啦│咚哒啦│……•“请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”•方法一：用图形表示│□○△│□○△│□○△│□○△│□○△│□•方法二：用数字表示│123│123│123│123│123│1结论之三•模式化的重要手段之一：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。二、数学中的分类•课改以来的一个新增内容。•相应的思考：究竟什么是数学中的分类？这与一般的分类又有什么不同（显然，这也直接关系到了究竟什么是数学课所应当具有的“数学味”）？[例四]几何模块的分类•常见的组织方式。分析与思考•问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？•有益的对照：自然数的认识。•进一步的问题：数学中究竟又为什么要进行分类？[例四]“100以内加减法练习”•34+42=76，•37+17=54，•69-15=54，•59+17=76，•91-15=76，•83-29=54。•“师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？”•方法一：按照得数相同来分；•方法二：按加法和减法来分；•方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分；•方法四：把37+17、59+17分成一组，把34+42、69-15、91-15、83-29分成一组。（因为前两者中都包括了17。）•方法五：把34+42=76分成一组，剩下的为一组。……（因为前者所涉及的都是偶数。）教师的总结•“教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题——进行合理的分类，让学生通过相互的交流，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。”•但是，我们究竟为什么要进行分类？结论之四•分类应当具有明确的目的性。第一，归类：数学抽象的直接基础；第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。•分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）一个练习•“制作正方体及长方体的折纸图样”（展开图）。•问题：如何去判别一个六联方是不是正方体的展开图？正方体