三角恒等变换高考试题精选二

三角恒等变换高考试题精选（二）一．选择题（共15小题）1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A．B．C．D．6．若tanα=2tan，则=（）A．1B．2C．3D．47．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=8．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．已知，则等于（）A．B．C．D．10．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣D．11．若，则cos2α+2sin2α=（）A．B．1C．D．012．若，则=（）A．1B．C．D．13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．14．设，且，则（）A．B．C．D．15．已知，则=（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于．17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=．18．已知，则=．19．若，则=．20．已知tanα=2，则=．21．化简：﹣=．22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=，tan2α=．23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是．三．解答题（共7小题）24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan=；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．28．已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．30．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．三角恒等变换高考试题精选（二）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．2．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．3．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．4．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．5．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A．6．（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．7．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．8．（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C9．（2017•自贡模拟）已知，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin（α+）==，而cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，故选：A．10．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．11．（2017•平罗县校级一模）若，则cos2α+2sin2α=（）A．B．1C．D．0【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=2，所以cos2α+2sin2α====．故选A．12．（2017•龙凤区校级模拟）若，则=（）A．1B．C．D．【解答】解：，则===．故选：B．13．（2017•潮州二模）已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．14．（2017•龙凤区校级模拟）设，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，∵，，∴，即，故选：B．15．（2017•泸州模拟）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：cos（）=sin[﹣（）]=．那么：=cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．故选：B．二．填空题（共8小题）16．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．17．（2017•新课标Ⅰ）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=．【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案为：18．（2017•黄石港区校级模拟）已知，则=．【解答】解：∵，∴==+==故答案为：19．（2017•张家界一模）若，则=．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．20．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=1．【解答】解：tanα=2，则===1．故答案为：1．21．（2017•厦门一模）化简：﹣=4．【解答】解：由﹣==．故答案为4．22．（2017•永康市模拟）若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=﹣，tan2α=﹣．【解答】解：∵sin（α+）=3sin（﹣α），∴sinα+cosα=3cosα，∴tanα=，则cos2α====﹣，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣；．23．（2017•重庆模拟）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是．【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1解得：或，∵θ∈（0，π），∴，则==．故答案为：．三．解答题（共7小题）24．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．25．（2017•嘉定区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴S△ABC=acsinB==．（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD⊥AC于D，则BD===．∴S△ABC==．（II）cosB===．sinB===．由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B．∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B=2sinBcosB=2××=．26．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．27．（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan=；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，则：cosA===．于是sinA==，连结AC，同理可得：cosB===，于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．28．（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．29．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，所以==．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．又由a=3，B=及正弦定理