函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤ab)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤ab）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf〕函数f（x）是偶函数；对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或1xfxf或0xfxf函数f（x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(xf与)(xf的关系。③、扣定义，下结论。⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.【例1】判断下列函数的奇偶性：(1).2()21;fxxx(2).223(),0;3xxfxxxxx解：()fx函数的定义域是()，，∵2()21fxxx，∴2()()21fxxx221()xxfx，∴2()21fxxx为偶函数。（法2—图象法）：画出函数2()21fxxx的图象如下：由函数2()21fxxx的图象可知，2()21fxxx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2).解：由303xx，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】判断下列函数的奇偶性：(1).24();33xfxx(2).3()3sin(2);2fxx(3).021()1xfxx。解：(1).由240330xx，解得2206xxx且∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则2244();33xxfxxx.∴224()4()();xxfxfxxx.∴24()33xfxx为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2).函数3()3sin(2)2fxx定义域为R，∵3()3sin(2)3cos22fxxx，∴()3cos2()3cos2()fxxxfx，∴函数3()3sin(2)2fxx为偶函数。(3).由2010xx，解得01xx，∴函数定义域为0,1xRxx，又∵022111()011xfxxx，∴()0fx，∴()()fxfx且()()fxfx，所以022111()011xfxxx既是奇函数又是偶函数。【例3】判断下列函数的奇偶性：(1).20.5()log(1)fxxx；(2).(1),(0)()0,(0)(1),(0)xxxfxxxxx解：(1).定义域为R，∵220.50.5()()log(()1)log(1)fxfxxxxx20.50.5log((1))log10xx，∴f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()fx与()fx关系，但当直接找()fx与()fx关系困难时，可用定义的变形式：0xfxf函数f（x）是偶函数；0xfxf函数f（x）是奇函数。(2).函数的定义域为R，当0x时，0,()()(1)(1)();xfxxxxxfx当0x时，0,()0();xfxfx当0x时，0,()()1()(1)().xfxxxxxfx综上可知，对于任意的实数x，都有()()fxfx，所以函数()fx为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】已知函数()(0),fxxRx且对任意的非零实数1,2,xx恒有1212()()(),fxxfxfx判断函数()(0)fxxRx且的奇偶性。解：函数的定义域为(,0)(0,)，令121xx，得(1)0f，令121xx，则2(1)(1),(1)0,fff取121,xxx，得()(1)(),fxffx()(),fxfx故函数()(0)fxxRx且为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1).求字母的值：【例5】已知函数21()(,,)axfxabcZbxc是奇函数，又(1)2f，(2)3f，求,,abc的值.解：由()()fxfx得()bxcbxc，∴0c。又(1)2f得12ab，而(2)3f得4132ab，∴4131aa，解得12a。又aZ，∴0a或1a.若0a，则12bZ，应舍去；若1a，则1bZb=1∈Z.∴1,1,0abc。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如f(－1)=－f(1)，得c=0。(2).解不等式：【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x)＜0的解集为｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.答案：｛x｜0＜x＜2｝说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x－1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3).求函数解析式：【例7】已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).分析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x)(x＞0).∴lg(2)(0)()lg(2)(0)xxxfxxxx。说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］时f(x)等于A.－x(1－x)B.x(1+x)C.－x(1+x)D.x(x－1)2.已知四个函数：①21log1xyx，②11xxeye，③y=3x+3-x，④y=lg(3x+3-x).其中为奇函数的是A.②④B.①③C.①④D.①②3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，则在R上f(x)的表达式为A.－x(x－2)B.x（｜x｜－2）C.｜x｜(x－2)D.｜x｜（｜x｜－2）二、填空题4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.5.若1()21xfxa(x∈R且x≠0)为奇函数，则a=_______________.6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，则f(5)=_______________.7.已知()fx是定义在(3,3)上的奇函数，当03x时，()fx的图像如右图所示，那么不等式()cos0fxx的解集是_____________三、解答题8.已知11()()2()Gxfxfx且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。9.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.10.设函数()fx是偶函数，函数()gx是奇函数，且3()()3fxgxx，求()fx和()gx的解析表达式。11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。12.已知()()fxgx、都是定义在R上的奇函数，若()()()2Fxafxbgx在区间(0,)上的最大值为5，求()Fx在区间(,0)上的最小值。13.已知()fx是奇函数，在区间(2,2)上单调递增，且有(2)(12)0fafa，求实数a的取值范围。四、巩固训练参考答案：一、选择题1.解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案：B2.提示：可运用定义，逐个验算.答案：D3.解析：设x＜0，则－x＞0，∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.∴222(0)()2(0)xxxfxxxx，即f(x)=x（|x|－2），故答案：B。二、填空题4.解析：定义域关于原点对称，故a－1=－2a，13a，又对于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案：13，0。5.解析：特值法：∵f(－1)=－f(1)，1111()2