22.2平行四边形(4)——平行四边形的判定(2)

Logo八年级第二学期数学22.2(4)平行四边形——平行四边形的判定(2)平行四边形有哪些性质？Ⅰ.边:Ⅱ.角:Ⅲ.对角线:平行四边形对角线互相平分.我们学过平行四边形有哪些判定方法？从边看:两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？平行四边形对边平行且相等.平行四边形对角相等、邻角互补.ABCDO从角出发？从对角线出发？？已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且AO=CO,BO=DO.ABCDO求证：四边形ABCD是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.从对角线出发：证明：在△AOB和△COD中，∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD∴△AOB≌△COD(S.A.S)∴AB=CD，∠BAO=∠DCO∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）已知：四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,ABDCOOA=OC,OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.在四边形ABCD中，∵OA=OC,OB=OD.∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）判定定理3(判定方法4)：对角线互相平分的四边形是平行四边形.BCDAO已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.ABCD从角出发：已知：如图，四边形ABCD,∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．ADBC证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和为360度）∴2∠A+2∠B=360°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理得：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）在四边形ABCD中，∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）判定定理4(判定方法5)：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.ADBC判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形从边出发按照定义从角出发从对角线出发例1、如右图,ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．ABCDEOF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO．∵AE=CF，∴AO–AE=CO–CF即EO=FO．又∵BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形．(对角线互相平分的四边形是平行四边形)例2、已知：平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，分别交BC和AD于E、F．求证：四边形AECF是平行四边形.FEDCBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠B=∠D∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1=∠2=∠3=∠4∴∠1+∠B=∠4+∠D．即∠AEC=∠CFA,∵∠2=∠3∴四边形AECF是平行四边形．(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)1234例3、已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点.求证：BM//DN且BM=DN.ABCDMNO证明：联结DM，BN在□ABCD中，OA=OC，OB=OD（）∵OM=OA，ON=OC1212∴OM=ON∵OB=OD∴四边形BMDN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴BM//DN且BM=DN（平行四边形的对边平行且相等）例4、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，延长DA至E使AE=BE，延长BC至F使CF=DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.FEDCBA证明：在□ABCD中，AB=CD，AD=BC∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠BCD，∴∠EAB=∠DCF∵AE=BE，CF=DF∴∠EAB=∠EBA，∠FCD=∠FDC∴∠EBA=∠FDC，∴△EAB≌△FCD(A.S.A)∵∠EAB+∠DAB=180°，∠FCD+∠BCD=180°又∵∠EAB=∠FCD，AB=CD∴BE=DF，AE=CF∵AD=BC∴ED=FB又∵BE=DF∴四边形BEDF是平行四边形()1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?ADCB110°70°110°⑴⑷⑶ABCD120°60°5㎝5㎝ABCDOBADC4.8㎝4.8㎝⑵7.6㎝7.6㎝√√√√2.已知：平行四边形ABCD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点.求证：四边形MNPQ是平行四边形.DABCQMNPO∵OM=OA，OP=OC1212证明：在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∴OM=OP同理OQ=ON∴MNPQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）课堂小结：平行四边形的判定方法图形语言符号语言定义判定1判定2判定3判定4AB∥CDAD∥BCAB∥CDAB=CDOB=OD平行四边形ABCDAB=CDAD=BC平行四边形ABCD平行四边形ABCD平行四边形ABCDABCDABCDABCDABCD∠A=∠C∠B=∠D平行四边形ABCDOA=OCADBCO