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数字信号处理课后习题详解第一章1.1试画出正弦序列sin(16πn/5)的波形，它是不是一个周期序列？若是，其周期长度是多少？解：matlab环境下实现源代码如下：n=[0:15];y=sin(16*pi*n/5);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('x(n)')图形如下图所示。2251685pqπππβ===，取k=p，则周期N=p=5，即sin(16πn/5)是一个周期序列，周期长度为5；图中也可以看出这点。1.2判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周期长度。(1)3()cos()74xnnππ=−解：2214337pqπππβ===∵p，q是互为质数的整数，取k=q则周期N=p=14∴周期长度为14(2))7cos()4sin()(nnnxππ−=解：1284Nππ==22147Nππ==∵N1，N2最小公倍数为56∴其周期长度为561.3试画出如下序列的波形(1)x(n)=3δ(n+3)+2δ(n+1)-4δ(n-1)+2δ(n-2)(2)x(n)=0.5nR5(n)解：(1)(2)1.4今对三个正弦信号)2cos()(1ttxaπ=、)6cos()(2ttxaπ−=、)10cos()(3ttxaπ=进行理想采样，采样频率为π8=Ωs，求这三个采样输出序列，比较其结果。画出xa1(t)、xa2(t)、xa3(t)的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象。解：matlab环境下实现源代码如下：t=-1:0.01:1;x1=cos(2*pi*t);x2=-cos(6*pi*t);x3=cos(10*pi*t);t2=-1:0.25:1;y1=cos(2*pi*t2);y2=-cos(6*pi*t2);y3=cos(10*pi*t2);subplot(311)plot(t,x1);xlabel('t');ylabel('Xa1(t)')holdstem(t2,y1)subplot(312)plot(t,x2);xlabel('t');ylabel('Xa2(t)')holdstem(t2,y2)subplot(313)holdstem(t2,y3)plot(t,x3);xlabel('t');ylabel('Xa3(t)')三个信号波形已知πω8=，则4182,42===πππωsT。()1ˆxt=()()1nxttnTδ∞=−∞−∑=()()1nxttnTδ∞=−∞−∑=()()1nxnTtnTδ∞=−∞−∑=()()cos2/4nntnTπδ∞=−∞−∑=()()cos/2/4nntnπδ∞=−∞−∑同理：()2ˆxt=()()cos3/2/4nntnπδ∞=−∞−−∑，()3ˆxt=()()cos5/2/4nntnπδ∞=−∞−−∑因为f1=12，所以无频谱混淆现象；因为f2=32，所以有频谱混淆现象；因为f2=52，所以有频谱混淆现象。1.5一个采样周期为T的采样器，开导通时间为τ，0τT，若采样器的输入信号为xa(t)，求采样器的输出信号ˆ()()()paxtxtpt=的频谱结构式中，∑∞−∞=−=nnTtrtp),()(⎩⎨⎧≤≤=其它001)(Tttr解：采样过程为距形周期脉冲采样过程，)(tp是周期函数，展开成傅里叶级数P(t)=sjktkkCe∞Ω=−∞∑，其中Tsπ2=Ω，Ck=dtTTtjketPTs∫Ω−22)(1=dtTtjkeTs∫Ω−201=τ/TSa(2/τΩk)2/tjkesΩ−P(jΩ)=∑∞−∞=ΩkT)t/2Sa(k2πτ2/tjkesΩ−δ(Ω-kΩs)[]θθθππdjpjXajXajpjpx∫∞∞−−Ω=ΩΩ=Ω)]([)(21)(*)(21)(ˆ，将p(jΩ)代入得)(22skSa)(ˆsjkjXaskjekTjpxΩ−ΩΩ−∞−∞=Ω=Ω∑τττ提示：DTFT[tjkesΩ]=)(2skΩ−Ωπσ1.6令x(n)和)(ωjeX表示一个序列及其DTFT，并且x(n)为实因果序列，利用)(ωjeX求下面各序列的DTFT。(1)kx(n)，k为任意常数；(2)x(n-n0)，n0为正整数。(3))2()(nxng=解：(1)kx(n)⎯⎯⎯→⎯DTFTkX(ωje)(2)DTFT(x(n-n0))=njenϖ−∞−∞=∑n0)-x(n=0x(m)njenjemϖϖ−−∞−∞=∑=0njeϖ−X(ωje)(3)∑∞−∞=−=nnjjenxeXωω)()(22[()](2)()()kwjjjnnkDTFTgnxnexkeXeωω∞∞−−=−∞=−∞===∑∑(4)(),20,nxnn⎧⎪⎨⎪⎩为偶数为奇数解：()()1[()]()[()(1)()]2111[()()][()]()22211()()22jnnjnnnjnjnjnjnnnnjjDTFTgngnexnxnexkexkexkexkeXeXeωωπωωωπωωπ∞∞−−=−∞=−∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞−==+−=+=+=+∑∑∑∑∑为奇数）（为偶数nnenxngDTFTnjn0)()2()]([+=−∞−∞=∑ω)(22ωωjkjneXekx==−∞−∞=∑）（1.7求下列序列的Z变换，收敛域及零极点分布图。(3)-0.5nu(-n-1)解：()0.5(1)nnXzunz∞−−∞=−−−∑10.5nnz−−−∞=−∑110(0.5)nnz∞−+==−∑110.510.5zz−−=−−1110.5z−=−收敛域为10.51z−，即0.5z，零点z=0，极点z=1/2(4)0.5n[u(n)-u(n-10)]解：90()0.5nnnXzz−==∑910(0.5)nnz−==∑11011(0.5)10.5zz−−−=−∵有限长序列n1≥0，n2≥0；∴收敛域为|z|0零点：1102(0.5)1jkzeπ−==21100.5,0,1,29jkzekπ−⇒==K2110(2),0,1,29jkzekπ−⇒==K极点：z=0.5，当k取0时，零点和极点抵消1.8利用Z变换的性质求Z变换(1)⎪⎩⎪⎨⎧+−≤≤=其它,021,20,)(NnNnNNnnnx解：x(n)图示为三角脉冲可以看成两个距形序列的卷积x(n)=f(n+1)其中f(n)=h(n)*h(n)而h(n)=u(n-1)-u[n-(N+1)]u(n)111Z−−⎯→⎯z则h(n)111111Z−−−−−−−−⎯→⎯zNzzzf(n)=h(n)*h(n)2112211)1(1)()()(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−==⎯→⎯−zNzzzzzzHzHzFN则x(n)的Z变换X(z)=Z[f(n+1)]=ZF(z)=2111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−zNzz1.10求以下函数的逆z变换(1)2||1,)21)(1(111−−−−zzz解：(1)采用部分分式法：1211211)(−−−+−=zAzAzx则1211111−=−==−zzA；211212=−==−zzA因为收敛域为1|z|2，所以f(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1)(2))5.01)(5.01(51zzz−−−−，0.5|z|2解：(5)()(0.5)(10.5)zzXzzz−=−−，12()0.510.5AAXzzzz=+−−，10.5()0.55(0.5)610.25zXzAzz=−⎡⎤=−==⎢⎥−⎣⎦22()25(10.5)220.5zXzAzz=−⎡⎤=−==−⎢⎥−⎣⎦∴6264()0.510.50.52zzzXzzzzz=−−=−+−−−−∵0.52z∴第一部分极点是z=0.5，因此收敛域是|z|0.5第二部分的极点是z=2，收敛域是|z|2∴()6(0.5)()42(1)nnxnunun=−−⋅−−(3)20cos1111−+−−−+zzzω(查过资料，建议将0cos1ω−z改为20cos1ω−z)解：X(z)=20cos1111−+−−−+zzzω=2001111−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−−−+zjwejwezz=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−+10110111zjezjezωω00012,000110201001zX(z)ωωωωωωωωωωjejejeKjejejeKjezKjezKjezjezz−−−−+=−−+=⎯→⎯−−+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=所以X(z)=0001ωωωjejeje−−+0ωjezz−+0001ωωωjejeje−−−−+0ωjezz−−=0)220(0sin20cos0)220(0sin20cosωπωωωωπωωωjezzjejezzje−−−−+−−x(n)=)(20sin20cos020cos2)()2020(0sin20cos)2020(0sin20cosnujennunjenjeπωωωωπωωωωπωωωω−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++−+−+1.11设序列x(n)和y(n)的z变换分别为X(z)和Y(z),试求Y(z)与X(z)的关系(1)y(n)=Cnx(n)解：()()()nnnnnYzynzcxnz∞∞−−=−∞=−∞==∑∑11()()()nnxnczXcz∞−−−=−∞==∑(2)y(2n)=x(n);y(2n+1)=0解：()()nnYzynz∞−=−∞=∑()()pqpqypzyqz−−=+∑∑偶数奇数2(2)0nynz∞−−∞=+∑2()()nnxnz∞−=−∞=∑2()Xz=(3)y(2n)=y(2n+1)=x(n)解：()()nnYzynz∞−=−∞=∑y(q)z()qpqpypz−−=+∑∑偶数奇数2(21)(2)(21)nnnnynzynz∞∞−−+=−∞=−∞=++∑∑2(21)()()nnnnxnzxnz∞∞−−+=−∞=−∞=+∑∑212()()XzzXz−=+12(1)()zXz−=+(4)y(n)=x(-n)解：()()nnYzynz∞−=−∞=∑()nnxnz∞−=−∞=−∑1()()nnxnz−∞−−=∞=∑1()Xz−=1.12用直接法或Parseval定理求下列各已知序列的x(n)y(n)n∞=−∞∑(1))()(),()(nunbnynunanx==解：直接法：x(n)y(n)n∞=−∞∑=()abnnabnunbnnuna−=∞==∞−∞=∑∑110)()(，⎣⎦1ab1.14试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积，并画出卷积过程图(1)x1(n)=δ(n)+2δ(n+2)-δ(n-4)，x2(n)=2δ(n-1)+δ(n-3)解：y(n)=x1(n)*x2(n)=[δ(n)+2δ(n+2)-δ(n-4)]*[2δ(n-1)+δ(n-3)]=4δ(n+1)+4δ(n-1)+δ(n-3)-2δ(n-5)-δ(n-7)…(略；反折→移位→相加)1.15设x(n)、y(n)、w(n)为三个序列，试证明：(2)x(n)*[y(n)+w(n)]=x(n)*y(n)+x(n)*w(n)证明：x(n)*[y(n)+w(n)]=∑∞−∞=−+−mmnwmnymx)]()()[(()()()()mmxmynmxmwnm∞∞=−∞=−∞−+−∑∑=x(n)*y(n)+x(n)*w(n)，即得证！1.17列出题图所示系统的差分方程，并在初始条件y(0)=1和y(n)=0,n0下，求以下输入序列的输出y(n)，并图示之。+T1/3x(n)y(n)(1)(n)x(n)σ=由图知1)y(ny(n)31x(n)+=+即)()(31-1)y(nnxny=+输入(n)x(n)σ=，输出y(n)就是h(n)，n0时，y(n)=0，为因果序列已知y(0)=1y(1)=34)0(31x(0)y(0)31=+=+σ；y(2)=3431y(1)31⋅=；y(3)=34231y(2)31⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=…y(n)=)1(34)()(,1,3434131−−⋅+=∴≥−⋅=⋅−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnunnynnnσ图示为(2)x(n)=u(n)解：(2)方法一由框图可得：x(n)+y(n)/2