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1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；ijAija②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：M(1)(1)ijijijijijijMAA++=−=−4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD−=−；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为o2D，则(1)22(1)nnDD−=−；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD=；将主副角线翻转后，所得行列式为D4D，则4DD=；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn−×−；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn−×−；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB==、(1)mnCAOAABBOBC==−⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkSλkEAλλ−=−=+−∑，其中kS为k阶主子式；7.证明0A=的方法：①、AA=−；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax=，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：⇔0A≠（是非奇异矩阵）；⇔()rAn=（是满秩矩阵）⇔A的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组有非零解；0Ax=⇔nbR∀∈，总有唯一解；Axb=⇔A与E等价；⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A的特征值全不为0；⇔TAA是正定矩阵；1⇔A的行（列）向量组是的一组基；nR⇔A是nR中某两组基的过渡矩阵；22.对于n阶矩阵A：**AAAAAE==无条件恒成立；13.1**111*()())()TAAA−−−−===*()(()TTTAAA***11()()()TTTABBAABBAABBA−−−===4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若，则：Ⅰ、1A2sAAA⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O⎛⎞⎜⎟12sAAAA=L；Ⅱ、；②、⎠；（主对角分块）③、⎠；（副对角分块）④、1⎠；（拉普拉斯）⑤、⎠；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵111121sAAAA−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O111AOAOOBOB−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝111OAOBBOAO−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝1111ACAACBOBOB−−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝11111AOAOCBBCAB−−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝mn×A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与rmnEOFOO×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB=⇔；2.行变换获得；元素必须为0；3.初等行变换）行最简形矩阵：①、只能通过初等②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用①、若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA−=；②、对做初等行变化，当矩阵(,)ABA变为E时，B就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程1AB−1(,)(,)cABEAB−∼nnAxb=，如果(,)(,)AbExr，则A可逆，且；4.换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1xAb−=初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变②、12n⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Oλλλ，左乘矩阵A，iλ乘A的各行元素；右乘，iλ乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij−=，例如：；1111111−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik−=，例如：1111(011kkk−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠)；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk−=−，如：；11111(11kkk−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0)5.矩阵秩的基本性质：①、0(；)min(,)mnrAmn×≤≤②、；()()TrArA=③、若AB，则()()rArB=；④、若、Q可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）P()()()()rArPArAQrPAQ===⑤、ma；（※）x((),())(,)()()rArBrABrArB≤≤+⑥、；（※）()()(rABrArB+≤+))⑦、；（※）()min((),()rABrArB≤⑧、如果A是矩阵，是n矩阵，且mn×Bs×0AB=，则：（※）Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组B0AX=解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBn+≤⑨、若A、均为n阶方阵，则；B()()()rABrArBn≥+−6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；101001acb⎛⎞⎜⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟m二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab−−−−=+=++++++=∑LL−；注：Ⅰ、(展开后有项；)nab+1n+Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!−−+==−LLLmnnnnnnmnCCmmnm==nC−=1Ⅲ、组合的性质：；111102−−+−===+=∑nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()nrAnrArAnrAn=⎧⎪==⎨⎪−−⎩；3②、伴随矩阵的特征值：*1*(,AAAXXAAAAXXλλλ−==⇒=)；③、*1AAA−=、1*nAA−=8.关于A矩阵秩的描述：①、，()rAn=A中有阶子式不为0，n1n+阶子式全部为0；（两句话）②、，()rAnA中有阶子式全部为0；n③、，()rAn≥A中有阶子式不为0；n9.线性方程组：Axb=，其中A为mn×矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Axb=有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb=为元方程；n10.线性方程组Axb=的求解：①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、；11112211211222221122nnnnmmnmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLLLLLLLLLLn②、（向量方程，1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⇔=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLMMOMMMLA为mn×矩阵，m个方程，n个未知数）③、()1212nnxxaaaxβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LM（全部按列分块，其中）；12nbbbβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M④、1122nnaxaxaxβ+++=L（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)rArAnβ=≤（为未知数的个数或维数）n4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,mαααL构成nm×矩阵12(,,,)mA=Lααα；m个维行向量所组成的向量组：nB12,,,TTTmβββL构成mn×矩阵12TTTmBβββ⎛⎞⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M⎟；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）⇔=②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）Axb⇔=③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AXB⇔=3.矩阵mnA×与lnB×行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax=和0Bx=同解；(101P例14)4.)；(101()(TrAArA=P例15)5.n维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；4③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,,,sαααL线性相关，则121,,,,ssαααα+L必线性相关；若12,,,sαααL线性无关，则121,,,sααα−L必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组rA的每个向量上添上个分量，构成n维向量组B：nr−若A线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则BBA也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs≤(二版74P定理7)；向量组A能由向量组线性表示，则B()()rArB≤；（86P定理3）向量组A能由向量组线性表示BAXB⇔=有解；（()(,)rArAB⇔=85P定理2）向量组A能由向量组等价（B()()(,)rArBrAB⇔==85P定理2推论）8.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵，使12l12,,,lPPPLAPPP=L；①、矩阵行等价：~rABPAB⇔=（左乘，可逆）P0Ax⇔=与0Bx=同解②、矩阵列等价：~cABAQB⇔=（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：~ABPAQB⇔=（、Q可逆）；P9.对于矩阵mnA×与lnB×：①、若A与行等价，则BA与的行秩相等；B②、若A与行等价，则与B0Ax=0Bx=同解，且A与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；B③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若，则：mssnmnABC×××=①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）BTA11.齐次方程组0Bx=的解一定是0ABx=的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解0ABx=0Bx⇒=只有零解；②、0Bx=有非零解一定存在非零解；0ABx⇒=12.设向量组12:,,,nrrBbbb×L可由向量组12线性表示为：（110:,,,nssAaaa×LP题19结论）1212(,,,)(,,,)rsbbbaaaK=LL（BAK=）其中K为，且sr×A线性无关，则组线性无关B()rKr⇔=；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr==≤≤∴=Q注：当时，rs=K为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵mnA×，存在nmQ×，mAQ()rAmE=⇔=、Q的列向量线性无关；（87P）②、对矩阵，存在，mnA×nmP×nPAE=()rAn⇔=、的行向量线性无关；P14.12,,,sαααL线性相关⇔存在一组不全为0的数，使得12,,,skkkL11220sskkkααα+++=L成立；（定义）⇔1212(,,,)0ssxxxααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LM有非零解，即0Ax=有非零解；⇔12(,,,)srsαααL，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn×的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax=的解集S的秩为：；()rSnr=−16.若*η为Axb=的一个解，12,,,nrξξξ−L为0Ax=的一个基础解系，则*12,,,,nrηξξξ−L线性无关；（111P题33结论）55、相似矩阵和二次型1.正交矩阵TAAE⇔=或1TAA−=（定义），性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即；1(,1,2,)0Tijijaaijnij=⎧==⎨≠⎩L②、若A为正交矩