大一下高等数学知识点

高等数学A2知识点【注意】不考试的知识点：带*号的（除球面坐标系、比值审敛法），二次曲面，斯托克斯公式，函数的幂级数展开式的应用，一般周期函数的傅立叶级数，物理应用部分，一、概念与定义1、数量积、向量积及坐标表示（向量的位置关系）；2、柱面，旋转曲面的方程形式及常见曲面画图，平面，直线的方程及其位置关系，平面束；曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法；4、偏导、连续、全微分的关系，方向导数与梯度；5、极值、条件极值，最值和驻点.及拉格朗日乘数法；6、七类积分的关系，格林公式、高斯公式；7、级数的定义，等比级数的和，级数收敛的必要条件，常见级数的敛散性及判定方法。二、计算1、求极限（1）二元函数求极限：代入法、两类特殊极限、无穷小性质等（2）极限不存在的判断：取不同的路径2、求偏导数或全微分（1）定义——在某一点可导，常见于分段函数（2）一个变量为常数，按一元函数求导法则计算，对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求；（3）多元复合函数求导——链式法则；（4）隐函数（方程与方程组）求导及其高阶导数——不要记公式，理解方法；（5）抽象函数求导及其高阶导数——注意符号；（6）求（指定点）全微分或判断是否可微——用定义220lim0xyzzxzyxy3、求重积分（画图）（1）二重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】，积分次序的交换；（2）三重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】；（3）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。4、求曲线、面积分（画图）“一代、二换、三定限”（1）代入参数方程或,zfxy；不同的积分换的公式不同；（2）定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则（3）格林公式、高斯公式的应用——验证条件并灵活使用；（4）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。5、无穷级数（1）数项级数审敛；（2）幂级数收敛域与和函数，函数展开成幂级数；（3）傅立叶级数的收敛情况——Dirichlet定理的结论三、应用1、偏导数的几何应用——空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯度。2、偏导数求极值以及条件极值、最值；3、重积分、曲线、面的几何应用——平面区域的面积、空间曲面的面积，曲顶柱体的体积；四、证明1、极限不存在、连续性、可导、可微；2、偏导数相关等式；3、格林公式——积分与路径无关、原函数；4、级数的敛散性判定——注意级数的分类与对应方法；5、向量的位置关系，平面、直线的位置关系等几何问题。曲面及其方程常见曲面方程柱面只含有两个字母的三原方程，缺少的字母为母线旋转曲面圆锥面22zxy方程中含有两个字母的平方和旋转抛物面22zxy或221zxy球222zRxy或2222000xxyyzzR圆柱面222xyR或222zyR或222xzR平面与直线方程直线点向式一般式两点式000xxyyzzmnp11112222AxByCzDAxByCzD000101010xxyyzzxxyyzz平面点法式一般式截距式0000AxxByyCzzAxByCzD1xyzabc位置关系直线与直线垂直、平行、相交（夹角）平面与平面垂直、平行、相交（夹角）直线与平面垂直、平行、相交（夹角）、平面束偏导、连续、可微隐函数的求导形式确定的函数求导方法一个方程,0fxyyfx视y为x的函数，两端对x求导，解得y,,0fxyz,zfxy视z为,xy的函数，两端对,xy求偏导，解得,xyzz方程组,,0,,0fxyzgxyzyyxzzx视,yz为x的函数，两端同时对x求导，解得,yz,,,0,,,0fuvxyguvxy,,uuxyvvxy视,uv为,xy的函数，两端对,xy求偏导，解得,,,xyxyuuvv高阶导数与偏导数的求导复合函数的链式法则函数中间变量求导【链式法则】,zfuvuuxvvxdzzduzdvdxudxvdx注意导数与偏导数的符号注意求导要完整注意抽象复合函数的符号,zfuv,,uuxyvvxy,zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy偏导数连续可微函数连续函数偏导数存在偏导数的应用问题应用曲线的切线与法平面曲线,,xtytzt,,Tttt曲面的切平面与法线曲面,,0Fxyz,,xyznFFF方向导数与梯度函数,zfxy，方向cos,coslcoscosffflxy,,xygradufxyff极值函数,zfxy令0xyzz得驻点与不可导点并由2ACB判断极值情况条件极值函数,zfxy，条件,0gxyLagerange乘数法重积分的几何应用度量应用平面面积112DLDSdxdyydxxdy曲面面积:,Szzxy，则2211xyxyDSzzdxdydS立体体积,1xyDVfxydxdydV曲线弧长1Llds重积分的计算坐标系区域表示化为定次积分适用类型三重积分,,fxyzdV直角坐标系先单后重【穿线法】12,,,,,,xyxyzzxyzzxyxyD21,,,,xyzxyzxyDfxyzdzdxdy一般的立体区域先重后单【切片法】12,,,,zxyzzzzxyD,,zdcDfxyzdxdydz柱面坐标系12,,,,,,xyzzzzD先单后重方法中用极坐标求解二重积分cos,sin,fzdddz柱面区域或被积函数含有22xy球面坐标系,,02,0,0rr先确定，然后确定，最后穿线法确定r2sincos,sinsin,cossinxryrzrdxdydzrdddr球面区域或被积函数含有222xyz二重积分,Dfxyd直角坐标系X-型区域12,,Dxyaxbxyx【穿线法】21,bxaxdxfxydy一般的平面区域Y-型区域12,,Dxycydyxy[穿线法]21,dycydyfxydx极坐标系12,,D先确定，然后穿线法确定21cos,sindfd圆形区域或被积函数含有22xy曲线、曲面积分的差异形式方向性特殊性质对弧长的曲线积分,Lfxyds无对1积分为L的长度对坐标的曲线积分,,LPxydxQxydyLL垂直性——L垂直与坐标轴则关于该坐标的积分为0对面积的曲面积分,,fxyzdS无对1积分为的面积对坐标的曲面积分PdydzQdzdxRdxdyPdydzPdydz垂直性——L垂直与坐标平面则关于该坐标平面的两个坐标的积分为0对1积分为在坐标平面投影的面积（带有正负号）计算一代二换三定限（域）化为积分对弧长的曲线积分xtyt22dsttdtt22,fttttdt对坐标的曲线积分xtytdxtdtdytdt起点终点,,PtttQtttdt对面积的曲面积分,zzxy221xxdSzzdxdyxyD22,,,1xyxxDfxyzxyzzdxdy对坐标的曲面积分,zzxy根据指定侧定二重积分符号xyD,,Rxyzdxdy,,,xyDRxyzxydxdyGREEN公式计算第二类曲线积分的用法利用公式的时机被积函数很复杂或积分路径很复杂或明显的PQyxL封闭时D内无奇点直接利用公式化成二重积分D内有奇点用辅助闭曲线去掉奇点后利用公式，再减去辅助曲线上的积分L不封闭时PQyx积分与路径无关，可以改变积分路径或选择简单的路径【一般选择平行于坐标轴的折线段】PQyx用辅助曲线封闭化后利用公式，再减去辅助曲线上的积分【一般选择平行于坐标轴的折线段】公式的独特用法—求原函数若,,dzPxydxQxydy，则可设,0,0,,,xyuxyPxydxQxydyGAUSS公式计算第二类曲面积分的用法利用公式的时机三种坐标积分同时出现或被积函数很复杂或积分曲面是特殊的曲面（柱、锥、球）封闭时直接利用公式化成三重积分不封闭时用辅助曲面封闭化后利用公式，再减去辅助曲面上的积分【一般选择平行于坐标平面的平面】对称性区域上奇偶性函数的积分区域对称性被积函数的奇偶性结论定积分关于原点对称关于x为奇函数1、奇函数0aafxdx2、偶函数02aaafxdxfxdx关于x为偶函数二重积分关于X轴对称关于y为奇函数1、奇函数,0Dfxyd2、偶函数1,2,DDfxydfxyd1D为D中00xy部分关于y为偶函数关于Y轴对称关于x为奇函数关于x为偶函数三重积分关于XOY对称关于z为奇函数1、奇函数,,0fxyzdV2、偶函数1,,2,,fxyzdVfxyzdV1为中00xy、z0部分关于z为偶函数关于XOZ对称关于y为奇函数关于y为偶函数关于YOZ对称关于x为奇函数关于x为偶函数对弧长的曲线积分关于X轴对称关于y为奇函数1、奇函数,0Lfxyds2、偶函数1,2,LLfxydsfxyds1L为L中0x部分关于y为偶函数关于Y轴对称关于x为奇函数关于x为偶函数对坐标的曲线积分没有对称性的相关结论对面积的曲面积分关于XOY对称关于z为奇函数1、奇函数,,0fxyzdV2、偶函数1,,2,,fxyzdVfxyzdV1为中00xy、z0部分关于z为偶函数关于XOZ对称关于y为奇函数关于y为偶函数关于YOZ对称关于x为奇函数关于x为偶函数多坐标的曲面积分没有对称性的相关结论七类积分间的关系二重积分三重积分STOKES公式对坐标的曲线积分定积分二重积分对坐标的曲面积分coscoscosPdydzQdzdxRdxdyPQRdScoscosLLPdxQdyPQds对弧长的曲线积分对面积的曲面积分GREEN公式GAUSS公式曲线积分曲面积分数项级数的审敛方法幂级数收敛域形式收敛区间收敛域0nnnax11lim,nnnaRa得收敛区间,RR讨论端点的敛散性，得收敛域00nnnaxx令0xxt，求0nnnat的收敛域，回带得x范围220nnnax等（缺项）令1lim1nnnuxux，得收敛区间幂级数和函数第一步：求收敛域第二步：对和函数Sx求导或积分得到等比级数或xe、sinx等,标上收敛区间第三步：0xSxSxdx或0xSxSxdx表上收敛域lim0nnu