概率统计习题册答案

一、概率公式的题目1、已知0.3,0.4,0.5,PAPBPAB求.PBAB解：0.70.510.70.60.54PAPABPABPBABPABPAPBPAB2、已知0.7,0.4,0.2,PAPBPAB求.PAAB解：0.220.70.29PAABPABPAABPABPAPBPAB。3、已知随机变量(1)XP，即X有概率分布律1(0,1,2)!ePXkkk，并记事件2,1AXBX。求：（1）PAB；（2）PAB；（3）PBA。解：（1）111()12,1111PABPABPABPXXPXe；（2）1()2,1210112;PABPABPXXPXPXPXe（3）111,201.20122PBAPXXPXePBAPXPXPXePA4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解：设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”，(())()()()()()()PAABPAPAABPABPAPBPAB侨==+-=0.660.750.60.50.60.58==+-?5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,AB，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解：设A“系统A有效”,B“系统B有效”,0.92,0.93,0.85PAPBPBA,1.0.988PABPAPBPABPAPABPAPAPBA0.070.080.152.0.8290.07PABPBPAPBAPBPABPABPBPBPB6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为415，刮风（记作事件B）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求(1);(2);(3)PABPBAPAB。解：1310(1)71415PABPABPB；1310(2)4815PABPBAPA47119(3)15151030PABPAPBPAB。二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数1000100100)(2xxxxf，　，　，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~BY.故有2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为其他0101122xxxxf，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以1120.80.80.81210.0272PXfxdxxxdx。3、某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度其它010001000)(2xxxf，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？32100100)()150(1501502150　　　　　　xdxxdxxfXPp278)31()32()3(0333CYP解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002xdxxXPXP令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则)32,5(~BY，24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155CYPYPYPYP4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X。多数情况下，可以认为X服从指数分布。设它的概率密度函数为：0,0,0)(xexxfx（x的单位为月）（1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数的值。（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为0001xxexXPxFx）（（１）34ln2341(34)0.5,0.0234PXFe解出（２）787.0122412421202.01202.02402.0eeeXPXPXXP5、设K在（-1，5）上服从均匀分布，求x的方程24420xKxK有实根的概率。解：要想x有实根，则224161620BACKK则2K1K或者，又因为~1,5KU，所以122PK。三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X的分布函数为0()arcsin1xaxFxABaxaaxa，(1)求系数A，B；(2)求22aaPX；(3)求X的分布密度。解：（1）由F(x)在,aa处的右连续性知1202BABA解之得121BA（2）122223aaaaPXFF（3）因为)()('xFxf，则221()0xaaxfxxa2、设随机变量X的分布函数为0,arctan,1,xaxFxABaxaaxa，求：（1）常数,AB；（2）303aPX；（3）X的密度函数fx。解：（1）由分布函数的右连续性知：0limlimarctan4arctanlim14xaxaxaxFaFxABABaaFaABABFxa，所以1124204AABBAB；（2）33100333aaPXFF；（3）222,()0,aaxaaxfxFx其它。3、设随机变量X的分布函数为20,0,011,1xFxAxxx，求：)1(常数A；)2(0.30.7PX；)3(X的密度函数fx。解：（1）由分布函数的右连续性知：11lim1xFAFx，所以1A；（2）0.30.70.70.30.4PXFF；（3）2,01()0,xxfxFx其它。4、设随机变量X的分布函数为000,22xxeBAxFx求：（1）系数BA,；（2）9ln4lnXP；（3）X的密度函数。解：(1)由于xF在,内连续，00limlim2002FBABeAxFxxx又1limlim22ABeAxFxxx故1B000,122xxexFx(2)9ln4lnXP=4ln9lnFF=613121(3)X的密度函数为00022xxexxFxfx,,5、设连续性随机变量X的分布函数为2,0()0,0.xABexFxx，求：(1)常数A，B；(2){11}PX；(3)X的密度函数fx。解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：20000limlim1limxxxxFFxABeABFFxA，所以0111ABAAB；（2）211111PXFFe；（3）22,0()0,0xexfxFxx。6、设随机变量X的概率密度函数为1,01,12xxxAxf，(1)求常数A；(2)求0.50.5PX；(3)求X的分布函数。解：(1)AxAdxxAdxxf10112arcsin211所以1A(2)0.50.5PXdxxdxxf5.05.025.05.01131arcsin25.00x（3）001dtdttfxFxxx时当dtxdttfdttfdttfxFxxxx12111111时当21arcsin1arcsin21xtx11111121111dtxdttfdttfdttfdttfxFxxx时当所以1111arcsin12110xxxxxF7、设连续型随机变量X的密度函数为cos,20,2axxfxx，求：1系数a；2X的分布函数；304PX。解：（1）由22221()cossin2fxdxaxdxaxa，12a；（2）44001120cossin4224PXxdxx；（3）200221sin1()()cos2222221122xxxxxFxftdttdtxxxx8、设随机变量X的密度函数为2,010,Axxfx其它，求：（1）常数A；（2）1124PX；（3）X的分布函数Fx。解：（1）由3121001()33xAfxdxAxdxA，3A；（2）1123440011132464PXxdxx；（3）2300,00,0()()3,01,011,11,1xxxxFxftdttdtxxxxx9、设随机变量X的密度函数为,010,Axxfx其它，求（1）常数A；（2）0.50.5PX；（3）X的分布函数Fx。解：（1）由211001()22xAfxdxAxdxA，2A；（2）112220010.50.524PXxdxx；（3）200,00,0()()2,01,011,11,1xxxxFxftdttdtxxxxx四、变一般正态为标准正态分布求概率1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平