3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示47503

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1211122122eeaeeaee如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线＝＋基底。）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ij【温故知新】问题：p我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abxyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiyj.OPOQzkxiyjzk由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp.pxiyjzk,,xiyjzk,,ijkp探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,,abc,,ijk任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)三、空间向量的直角坐标系pxyzOe1e2e3p其中(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.起点在坐标原点时，终点A点的坐标就是向量p的坐标A123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab（一）向量的直角坐标运算)0(b(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab解:例2若baabababa,8,,)4,1,3(),5,3,2(求例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.AA1B1C1D1DCBzyx(1)AB1(2)AB(3)AC1(4)AC1(5)CD(2,0,0)(2,0,2)(2,2,0)(2,2,2)(2,0,2)11、向量的长度（模）公式（二）向量的模与夹角)),,((321232221aaaaaaaaaa其中在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz212212212)()()(zzyyxxAB推广：cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式例3.求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0);ab(2)(1,1,1),(1,0,1);ab练习⑴已知ABCD,顶点(1,0,0),(0,1,0)AB,(0,0,2)C,则顶点D的坐标为______________;⑵RtABC△中,90BAC,(2,1,1),(1,1,2)AB,(,0,1)Cx,则____;x(1,-1,2)2【应用举例】空间向量坐标的综合应用已知、，求：线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则(,,)MxyzAB113()(3,3,1)1,0,52,,3,222OMOAOB∴点的坐标是.M32,,32222,(13)(03)(51)29.ABdOABM练习：已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足下列条件的点D的坐标（1）DB//AC,DC//AB(2)DB⊥AC,DC⊥AB且AD=BCF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例：如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，练习1.如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BA1,AC上的点,且BM=CN,xDAA1B1C1D1CBzyMN(1)MN与面AA1D1D平行吗?(2)M在何处时,MN最短?练习2、已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:PAABCD,MN,ABPCPAADMNPDC平面证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则,,ijkAxyzADBPCMNxyz,,,,,1PAADABPAACADABDAiABjAPkPA且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,,0),(,,)2222MN11(,0,)22MN(1,0,1)PD(0,1,0)DC11(,0,)(1,0,1)022MNPDMNPD11(,0,)(0,1,0)022MNDCMNDCPDDCDMNPDC又平面例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323练习2练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)，则的坐标为，点B的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，22132eeeAB321eee、、AB练习、qpqpCBAOPPBAPBAzzaa共线，则三点则的且满足共线与,3,,1,4,2,2,5,13,2,4,3,1,1,2,1218,2,1,214,2,43,38,3134个人收集整理，仅供交流学习！个人收集整理，仅供交流学习！