《数学史》微积分的创立

第6章微积分的创立如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一．•微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。微积分产生的社会背景和数学渊源微积分诞生在17世纪，主要来自政治，经济和社会发展对数学的巨大推动。15世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣:流体力学、天文学、几何光学、天文仪器的发展。数学家面临问题：求面积，求体积，求速度，求加速度，求行程等古时中国刘徽、祖冲之的割圆术求和希腊阿基米德等穷竭法求圆面积等，出现了极限和无穷小思想。阿基米德的平衡法先把面积或体积分成很多窄的平行条或薄的平行层。进而假设把这些薄片挂在杠杆的一端，使它们平衡于容积和重心都为已知的一个图形，而且已知图形的面（体）积一般都是容易求得的。微积分的创立微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代．面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子．他们的工作，确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱．与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多．刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题．微积分的萌芽•微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。•微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为《九章算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。•积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。6.1半个世纪的酝酿近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪．△1608年，伽利略制成的第一架天文望远镜。△1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律．伽利略(GalileoGalilei,1564–1642)伽利略1564年生于意大利的比萨，1581年入比萨大学攻读医学．他是世界著名的数学家、天文学家、物理学家，对现代科学思想的发展作出重大贡献．他是最早用望远镜观察天体的天文学家，曾用大量事实证明地球环绕太阳旋转，否定地心说．伽利略•1632年，发表《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》，大力支持和阐释哥白尼的地动说，因此受到教会的痛恨．1633年罗马教廷宗教裁判所对他进行了审判，并处以八年软禁．•伽利略在科学史上具有不朽的地位，他的贡献是划时代的，他认识到数学的核心意义，用数学公式去表达物理定律．•1642年1月8日，伽利略在阿切特里去世，享年78岁．1983年，罗马教廷正式承认，350年前宗教裁判所对伽利略的审判是错误的．开普勒(KeplerJohannes,1571–1630)开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日卒于雷根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星三大定律的发现者，近代光学的奠基人．他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次年得学士学位．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助手．第二年第谷去世，开普勒受聘为皇家数学家．第谷是望远镜发明以前的最后一位伟大的天文学家，也是世界上前所未有的最仔细、最准确的观察家，因此他的记录具有十分重大的价值。作为第谷的接班人，开普勒认真地研究了第谷多年对行星进行仔细观察所做的大量记录。就在找到基本的解决办法后，开普勒仍不得不花费数月的时间来进行复杂而冗长的计算，以证实他的学说与第谷的观察相符合。他在1609年发表的伟大著作《新天文学》中提出了他的前两个行星运动定律。十年后开普勒发表了他的行星运动第三定律。经过多年煞费苦心的数学计算，开普勒发现第谷的观察与当时的各种学说都不符合，最终开普勒认识到了所存在的问题：他与第谷、拉格茨·哥白尼以及所有的经典天文学家一样，都假定行星轨道是由圆或复合圆组成的。但是实际上行星轨道不是圆形而是椭圆形。开普勒•1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引力定律奠定了基础．•开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地．灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．开普勒行星运动三大定律要意是：I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；Ⅱ．由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；Ⅲ．行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比．从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一．1638年，伽利略(GalileoGalilei，1564—1642)《关于两门新科学的对话》出版．伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45’时达到，等等．凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点：◆确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；◆望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；◆确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决．◆行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来．微分学的基本问题(一)开普勒与旋转体体积德国天文学家、数学家开普勒(JohannesKepler，1571—1630)在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法．开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积．例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之—()·3142RRV(二)卡瓦列里不可分量原理意大利数学家卡瓦列里(BonaventuraCavalieri，1598—1647)在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法．卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．卡瓦列里原理：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比．第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间，在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线，如果它们被平面片所截得的线段长度相等，则这两个平面片的面积相等第二原理：有两个立体处于两个平行平面之间，在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。110nadxxnan卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分的基本结果，使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡．卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，因而也具有更大的威力．开普勒曾向他的同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积．卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题．(三)笛卡儿“圆法”以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题．解析几何的诞生改变了这一状况．解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋．笛卡儿在《几何学》(1637)中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法．求曲线过点的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P处的法线与x轴的交点C的位置，然后作该法线的过点P的垂线，便可得到所求的切线．)(xfy))(,(xfxP笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的．费马(Fermat,P.1601—1665)费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻读法律，毕业后当了律师．费马结交了不少数学高手和哲学家，参加聚会，讨论科学、研究数学，还经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著作非常淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他去世后，他的儿子将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》在图鲁斯出版．费马为解析几何与微积分的创立作出了实质性的贡献．从费马与罗伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡尔《几何学》发表前至少８年就已相当清晰地掌握了解析几何一些基本原理。费马也是微积分的先驱者，牛顿曾坦率地说：“我从费马的切线作法中得到了这种方法的启示、我推广了它，把它直接并且反过来应用于抽象方程上．费马还开创了近代数论的研究．他指出对数的性质的研究应当有独自的园地──（整）数论．同时，费马认为在数论中素数的研究非常重要，因为数论中的大量问题都与素数有关．在这方面的研究成果是费马在数学许多部门中最为突出的，其中最为著名是“费马小定理”、“费马大定理”，值得一提的是，300多年来“费马大定理”一直困扰着数学界，直到1993年才被普林斯顿大学的数学教授安德鲁·怀尔斯完全证明．费马尽管是业余数学家，但他在微积分、解析几何、概率论、数论等数学领域中，都做出了开创性的贡献．(四)费马求极大值与极小值的方法笛卡儿圆法记载于他1637年发表的《几何学》中．就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法．),(~)(afeaf按费马的方法，设函数在点处取极值，费马用代替原来的未知量，并使与“逼近”(adequatio)，即消去公共项后，用除两边，再令消失，即0)()(0eeafeaf由此方程求得的就是的极值点．)(xfaeaa)(eaf)(afeea)(xf费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号(他写作)代替了增量△．eEx记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论。费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允许，我将在另外的场合来论述.”(五)巴罗“微分三角形”巴罗(1saacBarrow，1630--1677)也给出了求曲线切线的方法，他的方法记载在1669年出版的《几何讲义》中，但他应该是在更早的时候就得到了这种方法．与笛卡儿、费马不同，巴罗使用了几何法．巴罗几何法的关键概念后来变得很有名，就是“微分三角形”，也叫“特征三角形”．设有曲线，欲求其上一点P处的切线．巴罗考虑一段“任意小的弧”，它是由增量引起的．曲边三角形就是所谓的微分三角形．巴罗认为当这个三角形越来越小时，它与△应趋近于相似，故应有eQR0),(yxfPQPQRTPM即QRPRTMPMeaty因Q