固体物理06-晶格振动的量子化理论

3.2晶格振动的量子化理论1.晶格的零点振动2.晶体的低温性质:热容，电导…3.描述超导等量子效应为什么要量子化晶格振动？利用简正坐标作量子化原子振动的本征解（第q个格波引起的第n个原子的振动）：)(naqtiqnqqeAu原子总位移为所有格波的叠加：qnaqtiqqnqnqeAuu)(tiqqeANmqQ)(inaqqneqQNmu)(1引入简正坐标2*')'('''12)(21)(21')(211')(21)'()(1212qqqqnqqinaqqqinaqnqinaqNnnqQqQqQqQqQeNqQqQeqQeqQNmmumT系统的动能：)'(1)'(qqeNnqqina)()(*qQqQ22*)'('''''21)(21cos222)()(1)(1)(211)'(1)(21)'(1)(122qQaqmqQqQeqQeqQmeNeqQeqQmeeqQeeqQNmuuUqqqqiaqiaqnqqinaqqiaqiaqqiaqinaqnqiaqinaqnnn系统的势能：)'(1)'(qqeNnqqina系统的哈密顿量：222)(21)(21qQqQHqqq无交叉项，Why?因为我们使用了本征振动模N个独立振子的方程0)()(2qQqQqNanq2这里的简正模式就是我们前面得到的本征模式，是全体晶格都参与得振动模式。)(-qQHdtqQd哈密顿正则方程量子化方程：NNqqqqQQQEQQQQQ,,,,,,2121212222以上方程实际上是N个独立振子的方程qqqqqqQQQQ222221qqqn21零点振动0qn系统的本征能量：本征态qqnNQQQQq,,,21qqqnE21晶格振动的能级是量子化的，能量的激发单元是q我们把量子化以后的格波叫声子q已由经典理论得到从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重要的结论。在经典理论中，能量是连续的，量子理论修正了这点。经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，相应的色散关系也是正确的。因此，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。1.声子是晶格格波的量子，它的能量等于。一个格波（一种振动模）称为一种声子。当这种振动模处于声子：qqqn21本征态时，称为有qn个声子。2.电子或光子与晶格相互作用，交换能量以为单位。若电子从晶格获得能量称为吸收一个声子，反之称为放出一个声子。声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。qq3.声子具有能量，也具有准动量，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。声子是一种准粒子。引入声子的概念不仅能简化对晶格振动的描述，更能反映晶格集体运动的量子本质。4.声子气体不受Pauli原理的限制，粒子数目不守恒，故属于玻色子系统，服从Bose-Einstein统计，当系统处于热平衡状态时，平率为ωq的格波的平均声子数由波色统计给出：11/kTqqen0TkTqqen/qkTqqkTn/作业：画出能量为5meV,10meV和20meV的平均声子数与温度的关系。3.3晶格振动的热容晶格振动热容的经典理论：根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振动的平均能量是kT。若固体中有N个原子，则有3N个简谐振动模，总的平均能量为VVTEC固体的热容：包含晶格振动的贡献和电子热运动的贡献。这里先讨论晶格的热容。是固体的平均内能ENkTE3NkCV3热容为晶格振动热容的经典理论：根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振动的平均能量是kT。若固体中有N个原子，则有3N个简谐振动模，总的平均能量为NkTE3NkCV3热容为杜隆-珀蒂（Dulong－Petit）1819年发现大多数固体常温下的摩尔热容量差不多都等于一个与材料和温度无关的常数值（25J/mol.K），这个结果就称为Dulong－Petit定律。尽管杜隆-珀蒂定律形式极为简单，但它多数晶体在高温下（300K以上）热容的描述仍是十分精确的。杜隆-珀蒂定律杜隆-珀蒂定律在高温下与实验符合得很好，但在低温下完全失效！高温下热容趋于常数，但在低温下趋于零。Einstein模型（1907）1907年Einstein用量子论解释了固体热容随温度下降的事实，这是1905年Einstein首次用量子论解释光电效应后，量子论的又一巨大成功。Einstein保留了原子热振动可以用谐振子描述的观点，但放弃了能量均分的经典观念，而假定其能量是量子化的。iiin2111/kTiien将晶体振动看成3N个独立的简谐振动。各振子的平均能量为：Einstein进一步假设晶体中所有原子都以同一频率ω0在振动。因而在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：123/00310kTNiieNE2//201300kTkTVVeekTNkTEC比热容为：定义Einstein温度kTE02//213TTTTEVEEeeTTNkCTE可以通过拟合实验得到金刚石的热容（TE=1320K）高温下（TTE）CV趋向经典结果低温下（TTE）CV趋向于0。温度下降时，CV减小2//213TTTTEVEEeeTTNkC1.高温下0,kTTTENkCV3TTeETTE/1/（杜隆-珀蒂定律）高温下，有很多声子被激发。平均声子数随温度增加近似连续变化量子效应不显著2.低温下kTTTE0,1/TTEeTTEVEeTTNkC/23热容随温度下降而下降，当温度趋于零时，热容CV也趋于零。这是因为低温下，温度不足以激发一个声子。声子被冻住了。但更精细的实验结果表明，当温度很低时，CV∝T3，这说明Einstein理论假定单一频率是过分简单了。因此才促使Born等人开始了晶格振动的仔细研究，给出频率表达式。