小学数学整数领域问题解决的实践性研究

小学数学整数领域问题解决的实践性研究曹培英跨越断层走出误区模型体系二、存在问题三、内容结构四、方法系统五、教学策略一、相关概念理论支撑应用意识一、相关概念1.整数领域指：整数的基础知识与整数的四则运算2.解决问题与问题解决（实验稿）（2011版）“解决问题”动宾词组，涵义比较单一“问题解决”翻译味浓，有悖汉语习惯看作偏正词组“问题的解决”看作省略成份的短语，如“问题及其解决”等“问题”与“解决”并列，内涵更为丰富；与“四能”目标相一致。教材：由学生“提出问题→解决问题”应常规化3.“问题解决”的内涵（1）问题解决是应用数学的过程↓（2）问题解决是一种重要的能力↓（3）问题解决是数学学习的目的↓（4）问题解决是一种教学的模式（5）问题解决是一种学习的方式获取数学知识中的问题解决应用数学知识中的问题解决一、相关概念脱离实际；浪费水资源……一个水池，单开进水管60分满，单开排水管90分完。一个展馆，只进不出，60分满，只出不进，90分完。先开进水管20分，再两管齐开，多少分后满?刚开馆只进，20分后有进有出，多少分后满?设水池180立方，则(180－3×20)÷(3－2)＝120(分)二、存在问题1.名词改了，实质呢？应用题→实际问题批判“水池进出水管同开”901－601206011－＝120(分)简单的“动态平衡模型”1.名词改了，实质呢？应用题→实际问题批判“水池进出水管同开”引进“鸡兔同笼”“植树问题”批评“烙饼问题”没有实际意义，建议取消这是一个数学观问题（数学特点、数学应用…）2.体系破了，建构呢？应用跟随知识→跟不上；跟丢了问题解决的内容结构？问题解决的模型体系？问题解决的方法系统？二、存在问题三、内容结构1.整数概念的应用几个与第几个后续发展：一个第几→两个第几即有序数对表示平面上点的位置三、内容结构“1亿有多大”对于数感作用甚微，恰是通过推理解决问题的好素材。数学靠推理获得无须实验验证的结论。这是数学最本质的特征与精髓！只知“眼见为实”是核心素养的缺失。1.整数概念的应用几个→第几个以万(亿)为单位→精确到万(亿)位三、内容结构1.整数概念的应用几个→第几个以万(亿)为单位→精确到万(亿)位倍数、因数；素数、合数；最大(小)公因(倍)数……36个同学，分成人数相等的小组(每组至少2人，至少2组)，可以怎样分？蝉的生长周期，长的有13年、17年，都是素数。这是为什么呢？教材：应用数学知识解释现实现象也应形成系列三、内容结构2.整数运算的应用主要的编排线索：从运算本身考虑从数量关系考虑从学生特点考虑“四则运算的应用”内容结构运算本身：数量关系：一步运算的应用两步运算的应用三步运算的应用合与分比差与比倍已知两个量求和差倍几倍多(少)几几点几倍(%)a:b整数小数分数比多个同类量多(少)aba:b:c:…(%)ab“四则运算的应用”内容结构运算本身：数量关系：一步运算的应用两步运算的应用三步运算的应用合与分比差与比倍学生特点：顺向思维的应用→逆向思维的应用熟悉情境的应用→典型情境的应用→陌生情境的应用（新情境的应用）归一与归总两积的和差三、内容结构2.整数运算的应用典型情境的应用：行程问题，植树问题，鸡兔同笼问题……典型思路的应用：归一问题，归总问题，倒(逆)推问题……(正比例)(反比例)(与顺推相对)以“归一”思路为例：321818÷3×2623183218918÷2×3“归一”(必学)(选学)18的三分之二已知一数的三分之二是18三、内容结构2.整数运算的应用陌生(新)情境的应用对于学生而言：一根竹竿插到水泥池底，露出水面3米，倒过来插，有1米是干的。你能求出竹竿全长吗？3m1m水池深3－1＋3＝重复使用条件“四则运算的应用”内容结构运算本身：数量关系：一步运算的应用两步运算的应用三步运算的应用合与分比差与比倍学生特点：顺向思维的应用→逆向思维的应用熟悉情境的应用→典型情境的应用→陌生情境的应用条件不重复使用→有条件重复使用以两步运算的应用为例归一与归总两积的和差条件1条件2条件3中间问题答案条件1条件2中间问题答案？应用跟随运算与问题解决自成体系相结合回归应用与知识的天然联系凸显问题解决自身的内在结构每个年级各有一个应用重点：一年级：以加减应用为主二年级：以乘除应用为主三年级：以二步运算应用为主四年级：以三步运算应用为主五年级：以方程应用为主六年级：以比和比例应用为主整数的应用小数的应用分数(%)的应用三、内容结构三套现行教材应用题各册的分布：分布波动大、欠合理，原因何在？打破应用体系，应用跟随知识的弊端之一？020406080100120140160180200一上一下二上二下三上三下四上四下五上五下北师大版苏教版三、内容结构三、内容结构3.计数原理的应用数数(共几个)问题主要有：加法原理的应用重叠原理的应用乘法原理的应用抽屉原理的应用（拓展内容）基础内容1.整数概念的应用2.整数运算的应用6＋36＋4－22个小精灵，4个小朋友，按要求合拍照片。对小精灵来说：2个4对小朋友来说：4个2小学数学问题解决基本步骤：审题↓分析↓解答↓检验都是基于一般情况所作的划分，这几个环节(步骤)是典型的，但又不是刻板的。某一步：可嵌入另一步中，使问题解决过程得到简缩；也可反复进行。四、方法系统1.基本步骤阅读与理解分析与解答回顾与反思小学数学问题解决基本步骤：审题↓分析↓解答↓检验都是基于一般情况所作的划分，这几个环节(步骤)是典型的，但又不是刻板的。某一步：可嵌入另一步中，使问题解决过程得到简缩；也可反复进行。四、方法系统1.基本步骤阅读与理解分析与解答回顾与反思双数张需要探究吗？探究了3张，还要探究下去吗？5张＝3张＋2张7张＝3张＋2张＋2张……原来只要探究3张→矩形图四、方法系统2.常用方法一般方法辅助方法特殊方法图示法列表法常用方法综合法分析法假设法倒推法枚举法……示意图其他图→线段图树状图韦恩图……四、方法系统3.常用方法的教学(1)综合法（由因导果）最自然的思考方法：无师自通学生很容易体会从条件入手思考的必要性进一步体会：条件决定算法梨树有多少棵？果园里有18棵桃树，。梨树比桃树多5棵42梨树和桃树共35棵？四、方法系统3.常用方法的教学(2)分析法（执果索因）三上，让学生自己提出问题：男生有多少人？一共有多少人？女生人数是男生的几倍？812问题决定算法进一步：最值问题问题←条件四、方法系统连乘问题游儿童乐园每人5元,每组6人,3组.先求每组几元：5×6先求一共几人：6×3先求？5×3每行10人每个方阵8行3个方阵10×8先求一个方阵有几人8×3先求3个方阵有几行一整列有几人先求3个方阵一行有几人10×3的经典例题问题→条件：3.常用方法的教学四、方法系统分析与综合的灵活运用小松鼠装松果，42个装一罐，已经装好273罐，还剩798个没有装。一共可以装多少罐？一共装多少罐？已经装好273罐还可以装几罐从问题入手想：从条件入手想：42×27342个装一罐已经装好273罐已经装了多少个一共要装多少个(42×273＋798）3.常用方法的教学还剩798个没装÷42个装一罐还剩798个没装÷42个装一罐四、方法系统分析法与综合法的编排建议：自然引入3.常用方法的教学体会两种情况条件决定算法问题决定算法（看条件，想问题）（看问题，想条件）综合灵活运用条件、问题均可入手不同思路，不同算法(两步三步)3.常用方法的教学(3)图示法建议增加：长方形图(矩形图)用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系)①②③④6622286前有铺垫(渗透)3×2＝63×20＝6010×2＝2010×20＝2003.常用方法的教学(3)图示法建议增加：长方形图(矩形图)用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系)前有铺垫(渗透)中有突破(教学)原来面积增加长增加宽原长原宽原来面积原长原宽原来面积原长原宽增加长、宽怎样增加长方形面积?长方形操场,原来长40米,宽20米。扩建后,长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？怎样计算增加面积?3.常用方法的教学(3)图示法建议增加：长方形图(矩形图)用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系)前有铺垫(渗透)中有突破(教学)长方形操场,原来长40米,宽20米。扩建后,长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？①某音乐厅原来每排40座，有20排。扩建后每排增加10座，增加8排。扩建后增加多少座位？②学校原计划买40只皮球，每只20元。实际多买10只，并且每只涨价8元。实际比计划多花多少元？③某厂原计划每天生产40台机器人,生产20天。实际每天多生产10台，多生产8天。实际比计划多生产多少台？……两积的和差扩建后增加到每排50座，共28排。50×28－40×203.常用方法的教学(3)图示法建议增加：长方形图(矩形图)用面积表示两个量的积(适合表示乘除关系)前有铺垫(渗透)中有突破(教学)后有发展(灵活应用)长方形操场,原来长40米,宽20米。扩建后,长增加10米,宽增加8米。操场面积增加多少？※小胖借来一本书,计划每天看12页,实际每天多看了4页。结果比计划提前3天看完。计划多少天看完？12×3÷4＋3＝12（天）12计划天数4312×3总页数实际天数6220四、方法系统3.常用方法的教学(4)列表法实践表明：学生大多不太喜欢列表教师感觉列表作用不大要不要填完？能不能跳跃？22032244243526鸡兔脚801671183526假设→比较→调整？………1482948348464863488048四、方法系统3.常用方法的教学(4)列表法铅笔每支6元，橡皮每块4元。把48元用完，可以怎样买？铅笔(支)0橡皮(块)12总价(元)48方案大车(辆)小车(辆)可乘人数总价(元)方案一0505000四、方法系统3.常用方法的教学(4)列表法※49人出游,可租两种车。大车载客10人,每辆租金1000元；小车载客7人,每辆租金800元。怎样租车省钱？解：只租大车，49÷10＝4……9，要4＋1＝5(辆)1000×5＝5000(元)只租小车，49÷7＝7(辆)800×7＝5600(元)六749(坐满)5600(请找出两种方案)543210二2545600三3515400四5556000五6525800√√豆油5010x200四、方法系统3.常用方法的教学(4)列表法×5×550千克豆可榨油10千克，照这样计算：榨200千克油需要多少千克豆？豆油5010？200×20×20货车从甲地开往乙地，6小时行330千米。照这样速度，再行2小时到达。求两地间的路程。6小时330千米2小时110千米8小时440千米四、方法系统3.常用方法的教学(5)假设法假设某一量取一个值假设某一种情况成立采用假设法验证。假设赋值的实质：将代数运算转化为算术运算。四、方法系统3.常用方法的教学假设：8只全是鸡，比较：调整：(换)少几只脚？共几只脚？2×8＝1626－16＝10一鸡换一兔,多几只脚？要换几只呢？4－2＝210÷2＝5假设全是鸡，就先求兔。兔(5)假设法鸡兔共8只，鸡2只脚，兔4只脚，共26只脚↓↓金鸡独立,双腿拱月,↓↓鸡趴地，兔单腿立，所以，兔有：26÷2－8＝5(只)↓÷2↓－8剩13只脚剩5只脚古人的推算方法（折半法）关于“鸡兔同笼”问题的探讨假设全是鸡：(脚数－头数×2)÷(4－2)（②－①×2）÷(4－2)假设脚折半：脚数÷2－头数②÷2－①……yxyx42头的总数①脚的总数②加减消元关于“鸡兔同笼”问题的探讨从联系实际看：“鸡兔同笼”是无稽之谈！从智能培养看：它具有心智训练价值从数学学科看：各种推算方法的数学实质设鸡x只，兔y只。适可而止为好！四、方法系统3.常用方法的教学(5)假设法假设某一量取一个值假设某一种情况成立假设→比较→调整假设→推理→肯定(否定)（鸡兔同笼问题）（逻辑推理问题）五、教学策略1.结构化策略以两个条件的两步运算问题为例提出问题？女20人求和、差、倍男60人选择一绿、一黄条件提出两步计算的问