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8．1_&_8.2随机对照试验__概率8．2.1概率的加法公式[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，Am两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．[小问题·大思维]1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．互斥事件的概率[例1](1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.110.160.30.290.10.04则至多2人排队的概率为()A．0.3B．0.43C．0.57D．0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17B.1235C.1735D．1[解析](1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E.则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案](1)C(2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率．解：(1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000，故1张奖券的中奖概率约为611000.对立事件的概率[例2]一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率．[解](1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A、B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．2．某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A型1人B型；1人A型1人AB型；1人A型1人O型；1人B型1人AB型；1人B型1人O型；1人AB型1人O型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．法一：从36人中任选2人，共有C236种选法，2人血型不同的概率为：P＝C112C110C236＋C112C18C236＋C112C16C236＋C110C18C236＋C110C16C236＋C18C16C236＝3445.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P＝1－C212＋C210＋C28＋C26C236＝1－1145＝3445.解题高手妙解题随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．[尝试][巧思]每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A912种可能．[妙解]总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－A912129≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.答案：0.9851．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对解析：选A由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是()A.56B.45C.23D.12解析：选C共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为6090＝23.3．从5张500元，3张800元，2张1200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为()A.14B.79120C.34D.2324解析：选C3张中没有价格相同的取法有C15C13C12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－30C310＝34.4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45g的概率是0.22，重量不小于2.50g的概率是0.20，那么重量在2.45g～2.50g范围内的概率是________．解析：重量在2.45g～2.50g范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58.答案：0.585．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C13·C13，因此向上的一面数之积为奇数的概率P＝C13·C136×6＝14，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P＝1－14＝34.答案：346．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：排队人数0～10人11～20人21～30人31～40人41人以上概率0.120.270.300.230.08计算：(1)至多20人排队的概率；(2)至少11人但不超过40人排队的概率．解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而(1)P(E)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.27＝0.39；(2)P(F)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.一、选择题1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组事件中是互斥事件的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：选B对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96解析：选D1－0.03－0.01＝0.96.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为()A．60%B．30%C．10%D．50%解析：选D“甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.929B.1029C.1929D.2029解析：选D既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为C320C330，全为女同学的概率C310C330，故所求事件概率为1－C320C330－C310C330＝2029.二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A∪B与C是互斥事件，也是对立事件②B∪C与D是互斥事件，也是对立事件③A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件④A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.答案：0.970.037．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为